Calcule cada expressão, usando as funções f, g e h definidas por:
f(x, y)=5 x^{2}+7 x y ; g(x, y)=\sqrt{x y} \text { e } h(x, y, z)=\frac{2 x y+z}{x^{2}+y^{2}-z^{2}}
g(k, k)

Passo 1

O enunciado dá três funções e pede para calcular o valor de g(k,k). As informações relevantes são:
  • f(x,y)=5x^{2}+7xy.
  • g(x,y)=\sqrt{xy}.
  • h(x,y,z)=\dfrac{2xy+z}{x^{2}+y^{2}-z^{2}}.
    A única pergunta a ser respondida aqui é: calcular g(k,k).

Passo 2

Vamos primeiro observar o domínio da função g. A função g(x,y)=\sqrt{xy} envolve uma raiz quadrada. Para que a raiz quadrada de um número real esteja bem definida (no conjunto dos números reais), é necessário que o radicando seja não negativo. Ou seja, para g(x,y) existirmos precisamos de
xy \ge 0.
No caso pedido, substituímos x=k e y=k, ficando o radicando igual a k\cdot k=k^{2}. Como
k^{2}\ge 0\quad\text{para todo }k\in\mathbb{R},
a expressão g(k,k) está definida para todo k real.

Passo 3

Agora calculamos a expressão substituindo diretamente:
g(k,k)=\sqrt{k\cdot k}=\sqrt{k^{2}}.
Aqui é importante lembrar uma propriedade fundamental da raiz quadrada principal: para todo número real u,
\sqrt{u^{2}}=|u|,
porque a raiz quadrada fornece sempre o valor não negativo. Aplicando essa propriedade com u=k obtemos
\sqrt{k^{2}}=|k|.
Uma explicação rápida do porquê: se k\ge 0 então \sqrt{k^{2}}=k; se k<0 então k^{2}=(-k)^{2} e \sqrt{k^{2}}=-k, que é precisamente |k|.

Passo 4

Concluímos que a forma simplificada e correta de g(k,k) é |k|. Para fixar a ideia, alguns exemplos rápidos:
  • Se k=3, então g(3,3)=|3|=3.
  • Se k=-2, então g(-2,-2)=|-2|=2.
  • Se k=0, então g(0,0)=|0|=0.

Resposta

|k|

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