Calcule cada expressão, usando as funções f, g e h definidas por:
f(x, y)=5 x^{2}+7 x y ; g(x, y)=\sqrt{x y} \text { e } h(x, y, z)=\frac{2 x y+z}{x^{2}+y^{2}-z^{2}}
g\left(a^{2}, b^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x,y)=5x^{2}+7xy,\qquad g(x,y)=\sqrt{xy},\qquad h(x,y,z)=\frac{2xy+z}{x^{2}+y^{2}-z^{2}}
e pede para calcular g\bigl(a^{2},b^{2}\bigr). As informações relevantes são:
  • A função g é definida por g(x,y)=\sqrt{xy}.
  • Devemos substituir x=a^{2} e y=b^{2} e simplificar o resultado.

Passo 2

Façamos a substituição diretamente na definição de g. Temos
g\bigl(a^{2},b^{2}\bigr)=\sqrt{a^{2}\,b^{2}}.
Aqui usei apenas a definição g(x,y)=\sqrt{xy} colocando x=a^{2} e y=b^{2}.

Passo 3

Agora vamos simplificar \sqrt{a^{2}\,b^{2}}. Uma propriedade útil é que, quando os argumentos sob a raiz são não negativos, pode-se separar a raiz do produto:
\sqrt{a^{2}\,b^{2}}=\sqrt{a^{2}}\;\sqrt{b^{2}}.
As quantidades a^{2} e b^{2} são sempre não negativas (pois quadrado é \ge0), então essa separação é válida.

Passo 4

Lembrando a definição da raiz quadrada principal: \sqrt{a^{2}}=|a| para qualquer número real a (a raiz quadrada sempre retorna o valor não negativo). Assim,
\sqrt{a^{2}}\;\sqrt{b^{2}}=|a|\;|b|.
E como produto de módulos satisfaz |a|\;|b|=|ab|, obtemos a simplificação final.

Passo 5

Interpretação prática (um exemplo rápido para fixar): se a=-2 e b=3, então g(a^{2},b^{2})=\sqrt{(-2)^{2}\cdot 3^{2}}=\sqrt{36}=6, que é igual a |ab|=|-6|=6. Isso mostra por que o resultado envolve valor absoluto.

Resposta

|ab|

Exercícios relacionados