Considere a integral dupla I=\int_{D} \int x y\left(x^{2}+y^{2}\right)^{6} d A,
em que D é a região situada no primeiro quadrante que é simultaneamente interior às circunferências x^{2}+y^{2}=7 e x^{2}+y^{2}=12 y.
Após escrever I em coordenadas cartesianas, nas duas ordens de integração possíveis, responda aos itens abaixo:
a) Tomando \boldsymbol{x} como variável independente, \boldsymbol{I} deve ser escrita como uma única integral dupla, dada por
I=
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b) Tomando \boldsymbol{y} como variável independente, \boldsymbol{I} deve ser escrita como soma de duas integrais duplas, da forma I=I_{1}+I_{2}.
Supondo que os limitantes de integração de \boldsymbol{x} na integral dupla \boldsymbol{I}_{1} são menores ou iguais do que os limitantes de integração de \boldsymbol{x} na integral dupla \boldsymbol{I}_{2}, tem-se que:
a primeira integral dupla é
I_{1}=\square
e a segunda integral dupla é
I_{2}=\square

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
I=\iint_{D} x\,y\left(x^{2}+y^{2}\right)^{6}\,dA,
onde D é a região do primeiro quadrante que é interior às circunferências
x^{2}+y^{2}=7 \qquad\text{e}\qquad x^{2}+y^{2}=12y.
As perguntas são:
  • (a) Escrever I em coordenadas cartesianas tomando x como variável independente: quer-se uma única integral dupla I= □.
  • (b) Escrever I em coordenadas cartesianas tomando y como variável independente; deve-se expressar I=I_{1}+I_{2}. Supondo que os limitantes de x em I_{1} são menores ou iguais aos de I_{2}, fornecer as expressões de I_{1} e I_{2}.
Informações fornecidas (lista clara):
  • Região primeira: x\ge0,\;y\ge0.
  • Interior do círculo centrado na origem raio \sqrt{7}: x^{2}+y^{2}\le7.
  • Interior do círculo centrado em (0,6) raio 6: a equação x^{2}+y^{2}=12y é equivalente a (y-6)^{2}+x^{2}=36; o interior é x^{2}+y^{2}\le12y.
  • Precisaremos achar a interseção das duas curvas para determinar os limites.

Passo 2

Achar a interseção das curvas: resolver simultaneamente
x^{2}+y^{2}=7 \qquad\text{e}\qquad x^{2}+y^{2}=12y.
Igualando as duas expressões do lado esquerdo dá
7=12y \quad\Rightarrow\quad y=\frac{7}{12}.
Substituindo em x^{2}+y^{2}=7 obtemos
x^{2}=7-y^{2}=7-\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=7-\frac{49}{144}=\frac{1008-49}{144}=\frac{959}{144}.
Logo a coordenada x do ponto de interseção (no primeiro quadrante) é
x=\frac{\sqrt{959}}{12}.
Portanto o ponto de interseção no primeiro quadrante é
\left(\frac{\sqrt{959}}{12},\;\frac{7}{12}\right).

Passo 3

Descrição da região D em termos de desigualdades:
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x^{2}+y^{2}\le7,\;x^{2}+y^{2}\le12y\}.
Para encontrar limites verticais (fixando x) e horizontais (fixando y) usamos as expressões explícitas das curvas:
Da curva x^{2}+y^{2}=7 (ramo superior, primeiro quadrante) temos
y=\sqrt{7-x^{2}}\quad(\text{com }0\le x\le\sqrt{7}).
Da curva x^{2}+y^{2}=12y reescrevemos como (y-6)^{2}+x^{2}=36. Para cada x com |x|\le6 os dois ramos são
y=6\pm\sqrt{36-x^{2}}.
No primeiro quadrante o ramo relevante (o mais baixo) é
y=6-\sqrt{36-x^{2}},
que varia de 0 (em x=0) até valores maiores conforme x muda.

Passo 4

Montar a integral com x variável independente (fatiamento vertical).
Para um x fixo no primeiro quadrante, os valores de y que estão em D devem satisfazer simultaneamente
6-\sqrt{36-x^{2}}\le y\le 6+\sqrt{36-x^{2}} \qquad\text{(por \(x^{2}+y^{2}\le12y\))}
e
-\sqrt{7-x^{2}}\le y\le \sqrt{7-x^{2}} \qquad\text{(por \(x^{2}+y^{2}\le7\)).}
Como estamos no primeiro quadrante tomamos só as partes positivas; portanto o intervalo de y para a interseção é
y\in\bigl[\,6-\sqrt{36-x^{2}},\;\sqrt{7-x^{2}}\,\bigr],
desde que esse intervalo seja não vazio. Pelo cálculo da interseção isso ocorre para
0\le x\le \frac{\sqrt{959}}{12}.
Assim a integral única com x independente é dada por integrar x de 0 até \dfrac{\sqrt{959}}{12} e, para cada x, integrar y de 6-\sqrt{36-x^{2}} até \sqrt{7-x^{2}}.

Passo 5

Escrever explicitamente a integral do item (a). Mantendo a função integranda igual, obtemos
I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{959}}{12}}\left(\int_{\,6-\sqrt{36-x^{2}}}^{\,\sqrt{7-x^{2}}} x\,y\left(x^{2}+y^{2}\right)^{6}\,dy\right)dx.

Passo 6

Montar a integral com y variável independente (fatiamento horizontal). Para y fixo, as condições em x são
x^{2}\le 7-y^{2}\quad\Rightarrow\quad |x|\le\sqrt{7-y^{2}},
e
x^{2}\le 12y-y^{2}\quad\Rightarrow\quad |x|\le\sqrt{12y-y^{2}}.
No primeiro quadrante x\ge0, então x varia entre 0 e o menor dos dois radicandos. A comparação entre os radicandos dá igualdade quando
7-y^{2}=12y-y^{2}\quad\Rightarrow\quad y=\frac{7}{12}.
Portanto devemos partir o intervalo de y em dois:
  • Para 0\le y\le \dfrac{7}{12} tem-se \sqrt{12y-y^{2}}\le\sqrt{7-y^{2}}, então x vai de 0 a \sqrt{12y-y^{2}}.
  • Para \dfrac{7}{12}\le y\le \sqrt{7} tem-se \sqrt{7-y^{2}}\le\sqrt{12y-y^{2}}, então x vai de 0 a \sqrt{7-y^{2}}.
O limite superior de y é \sqrt{7} porque a interseção com o eixo y está limitada por y^{2}\le7 no primeiro quadrante.

Passo 7

Escrever I como soma I=I_{1}+I_{2} com as integrais correspondentes (respeitando a hipótese de que os limites de x em I_{1} são menores ou iguais aos de I_{2}):
Para I_{1} (com y em [0,\tfrac{7}{12}]):
I_{1}=\int_{0}^{\frac{7}{12}}\left(\int_{0}^{\sqrt{12y-y^{2}}} x\,y\left(x^{2}+y^{2}\right)^{6}\,dx\right)dy.
Para I_{2} (com y em [\tfrac{7}{12},\sqrt{7}]):
I_{2}=\int_{\frac{7}{12}}^{\sqrt{7}}\left(\int_{0}^{\sqrt{7-y^{2}}} x\,y\left(x^{2}+y^{2}\right)^{6}\,dx\right)dy.

Resposta

I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{959}}{12}}\left(\int_{\,6-\sqrt{36-x^{2}}}^{\,\sqrt{7-x^{2}}} x\,y\left(x^{2}+y^{2}\right)^{6}\,dy\right)dx
I_{1}=\int_{0}^{\frac{7}{12}}\left(\int_{0}^{\sqrt{12y-y^{2}}} x\,y\left(x^{2}+y^{2}\right)^{6}\,dx\right)dy
I_{2}=\int_{\frac{7}{12}}^{\sqrt{7}}\left(\int_{0}^{\sqrt{7-y^{2}}} x\,y\left(x^{2}+y^{2}\right)^{6}\,dx\right)dy

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