Considere a integral dupla
,
em que
é a região situada no primeiro quadrante que é simultaneamente interior às circunferências
e
.
Após escrever I em coordenadas cartesianas, nas duas ordens de integração possíveis, responda aos itens abaixo:
a) Tomando
como variável independente,
deve ser escrita como uma única integral dupla, dada por
□
(Clique para mostrar/ocultar orientações de como inserir suas respostas)
b) Tomando
como variável independente,
deve ser escrita como soma de duas integrais duplas, da forma
.
Supondo que os limitantes de integração de
na integral dupla
são menores ou iguais do que os limitantes de integração de
na integral dupla
, tem-se que:
a primeira integral dupla é
e a segunda integral dupla é
em que
a) Tomando
(Clique para mostrar/ocultar orientações de como inserir suas respostas)
b) Tomando
a primeira integral dupla é
Passo 1
O enunciado dá a integral dupla
onde
é a região do primeiro quadrante que é interior às circunferências
As perguntas são:
- (a) Escrever
em coordenadas cartesianas tomando como variável independente: quer-se uma única integral dupla □. - (b) Escrever
em coordenadas cartesianas tomando como variável independente; deve-se expressar . Supondo que os limitantes de em são menores ou iguais aos de , fornecer as expressões de e .
Informações fornecidas (lista clara):
- Região primeira:
. - Interior do círculo centrado na origem raio
: . - Interior do círculo centrado em
raio : a equação é equivalente a ; o interior é . - Precisaremos achar a interseção das duas curvas para determinar os limites.
Passo 2
Achar a interseção das curvas: resolver simultaneamente
Igualando as duas expressões do lado esquerdo dá
Substituindo em
obtemos
Logo a coordenada
do ponto de interseção (no primeiro quadrante) é
Portanto o ponto de interseção no primeiro quadrante é
Passo 3
Descrição da região
em termos de desigualdades:
Para encontrar limites verticais (fixando
) e horizontais (fixando
) usamos as expressões explícitas das curvas:
Da curva
(ramo superior, primeiro quadrante) temos
Da curva
reescrevemos como
. Para cada
com
os dois ramos são
No primeiro quadrante o ramo relevante (o mais baixo) é
que varia de
(em
) até valores maiores conforme
muda.
Passo 4
Montar a integral com
variável independente (fatiamento vertical).
Para um
fixo no primeiro quadrante, os valores de
que estão em
devem satisfazer simultaneamente
e
Como estamos no primeiro quadrante tomamos só as partes positivas; portanto o intervalo de
para a interseção é
desde que esse intervalo seja não vazio. Pelo cálculo da interseção isso ocorre para
Assim a integral única com
independente é dada por integrar
de
até
e, para cada
, integrar
de
até
.
Passo 5
Escrever explicitamente a integral do item (a). Mantendo a função integranda igual, obtemos
Passo 6
Montar a integral com
variável independente (fatiamento horizontal). Para
fixo, as condições em
são
e
No primeiro quadrante
, então
varia entre
e o menor dos dois radicandos. A comparação entre os radicandos dá igualdade quando
Portanto devemos partir o intervalo de
em dois:
- Para
tem-se , então vai de a . - Para
tem-se , então vai de a .
O limite superior de
é
porque a interseção com o eixo
está limitada por
no primeiro quadrante.
Passo 7
Escrever
como soma
com as integrais correspondentes (respeitando a hipótese de que os limites de
em
são menores ou iguais aos de
):
Para
(com
em
):
Para
(com
em
):