Determmine o domínio de cada função de duas variáveis e esboce o gráfico:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar o domínio da função de duas variáveis
. - Esboçar o gráfico dessa função no espaço tridimensional.
Informações dadas:
- A função é
. - Não há restrição explícita sobre
ou no enunciado.
Passo 2
O que é o domínio de uma função de duas variáveis?
O domínio é o conjunto de pares para os quais a expressão que define a função faz sentido (é bem definida). Em outras palavras, são todos os valores possíveis de entrada. Exemplos de situações que restringem o domínio seriam divisões por zero, radicais com índice par que exijam não-negatividade, ou logaritmos que exijam argumento positivo.
O domínio é o conjunto de pares
No caso de
não aparece divisão, raiz ou logaritmo — apenas soma de números reais. Soma de dois números reais está sempre bem definida para qualquer
e qualquer
. Portanto não existe nenhuma restrição nos valores de
e
.
Passo 3
Conclusão sobre o domínio, escrito de forma matemática:
A função pode ser vista como uma aplicação
A função pode ser vista como uma aplicação
Logo o domínio é
Passo 4
Agora vamos esboçar o gráfico. O gráfico é o conjunto de pontos
em
tais que
Reescrevendo,
que é a equação de um plano. Algumas características úteis para desenhar esse plano:
- Vetor normal ao plano:
(porque a equação é ). - Três pontos não-colineares no plano (fáceis de marcar):
-
, pois . -
, pois . -
, pois .
-
- Interpretação geométrica: o plano corta o eixo
na origem . As interseções com planos coordenados dão retas: - No plano
tem-se (reta no plano com inclinação ). - No plano
tem-se (reta no plano com inclinação ).
- No plano
- Curvas de nível (contornos) no plano
: para cada constante a interseção com a horizontal é a reta que são retas no plano com coeficiente angular . Essas retas paralelas mostram que o plano é inclinado de maneira uniforme.
Como esboçar na prática (passo a passo para fazer à mão):
- Desenhe os três eixos coordenados
, , com vertical. - Marque os pontos
, e (valores em , aqui escolheu-se por simplicidade). - Trace o plano que passa por esses três pontos — será uma superfície inclinada subindo quando
ou aumentam. - Se quiser reforçar, desenhe algumas curvas de nível
no plano e projete-as para as alturas .
Passo 5
Interpretações que ajudam em prova ou em exercícios rápidos:
- As derivadas parciais são constantes:
o que significa que, localmente, aumentando em uma unidade (mantendo fixo), aumenta uma unidade; o mesmo para . Isso confirma que o gráfico é um plano com inclinação constante. - Se pedirem o vetor normal ao plano do gráfico, usar a equação
dá diretamente .