Determmine o domínio de cada função de duas variáveis e esboce o gráfico:
f(x, y)=x+y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar o domínio da função de duas variáveis f(x,y)=x+y.
  • Esboçar o gráfico dessa função no espaço tridimensional.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=x+y.
  • Não há restrição explícita sobre x ou y no enunciado.

Passo 2

O que é o domínio de uma função de duas variáveis?
O domínio é o conjunto de pares (x,y) para os quais a expressão que define a função faz sentido (é bem definida). Em outras palavras, são todos os valores possíveis de entrada. Exemplos de situações que restringem o domínio seriam divisões por zero, radicais com índice par que exijam não-negatividade, ou logaritmos que exijam argumento positivo.
No caso de f(x,y)=x+y não aparece divisão, raiz ou logaritmo — apenas soma de números reais. Soma de dois números reais está sempre bem definida para qualquer x e qualquer y. Portanto não existe nenhuma restrição nos valores de x e y.

Passo 3

Conclusão sobre o domínio, escrito de forma matemática:
A função pode ser vista como uma aplicação
f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},\qquad f(x,y)=x+y.
Logo o domínio é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid \text{sem restrição}\}=\mathbb{R}^2.çã

Passo 4

Agora vamos esboçar o gráfico. O gráfico é o conjunto de pontos (x,y,z) em \mathbb{R}^3 tais que
z=f(x,y)=x+y.
Reescrevendo,
x+y-z=0,
que é a equação de um plano. Algumas características úteis para desenhar esse plano:
  • Vetor normal ao plano: \mathbf{n}=(1,1,-1) (porque a equação é 1\cdot x+1\cdot y+(-1)\cdot z=0).
  • Três pontos não-colineares no plano (fáceis de marcar):
    • (0,0,0), pois 0+0=0.
    • (1,0,1), pois 1+0=1.
    • (0,1,1), pois 0+1=1.
  • Interpretação geométrica: o plano corta o eixo z na origem (0,0,0). As interseções com planos coordenados dão retas:
    • No plano y=0 tem-se z=x (reta no plano xz com inclinação 1).
    • No plano x=0 tem-se z=y (reta no plano yz com inclinação 1).
  • Curvas de nível (contornos) no plano xy: para cada constante c a interseção com a horizontal z=c é a reta x+y=c,que são retas no plano xy com coeficiente angular -1. Essas retas paralelas mostram que o plano é inclinado de maneira uniforme.
Como esboçar na prática (passo a passo para fazer à mão):
  1. Desenhe os três eixos coordenados x, y, z com z vertical.
  2. Marque os pontos (0,0,0), (1,0,1) e (0,1,1) (valores em \mathbb{R}, aqui escolheu-se 1 por simplicidade).
  3. Trace o plano que passa por esses três pontos — será uma superfície inclinada subindo quando x ou y aumentam.
  4. Se quiser reforçar, desenhe algumas curvas de nível x+y=c no plano xy e projete-as para as alturas z=c.

Passo 5

Interpretações que ajudam em prova ou em exercícios rápidos:
  • As derivadas parciais são constantes: \frac{\partial f}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=1,o que significa que, localmente, aumentando x em uma unidade (mantendo y fixo), z aumenta uma unidade; o mesmo para y. Isso confirma que o gráfico é um plano com inclinação constante.
  • Se pedirem o vetor normal ao plano do gráfico, usar a equação x+y-z=0 dá diretamente \mathbf{n}=(1,1,-1).

Resposta

\mathbb{R}^2

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