Calcule partial fpartial x e partial fpartial y para cada uma das funções abaixo.
f(x, y)=(x+4 y-31)^5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função f(x, y) = (x + 4y - 31)^5 . O que precisamos fazer aqui é calcular as derivadas parciais dessa função em relação a x e y . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais, que nos mostra como a função muda quando a gente varia uma das variáveis mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a x , ou seja, partial fpartial x .
A função é f(x, y) = (x + 4y - 31)^5 . Aqui, y é considerado constante. Para derivar, usamos a regra do poder, que diz que a derivada de u^n é n cdot u^n-1 cdot dudx , onde u é uma função de x .
No nosso caso:
  • u = x + 4y - 31
  • n = 5
  • dudx = 1 (porque a derivada de x em relação a x é 1, e y é constante)
Então, aplicando a regra do poder:
partial fpartial x = 5 cdot (x + 4y - 31)^4 cdot 1 = 5(x + 4y - 31)^4

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a y , ou seja, partial fpartial y .
Novamente, temos a função f(x, y) = (x + 4y - 31)^5 . Desta vez, x é constante. Usamos novamente a regra do poder.
No nosso caso:
  • u = x + 4y - 31
  • n = 5
  • dudy = 4 (porque a derivada de 4y em relação a y é 4)
Aplicando a regra do poder:
partial fpartial y = 5 cdot (x + 4y - 31)^4 cdot 4 = 20(x + 4y - 31)^4

Resposta

As derivadas parciais da função f(x, y) = (x + 4y - 31)^5 são:
partial fpartial x = 5(x + 4y - 31)^4
e
partial fpartial y = 20(x + 4y - 31)^4

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