Determine a natureza das seguintes séries:
sumn=1^infty 2^nn!

Passo 1

O enunciado pede para determinar a natureza (convergência ou divergência) da série
sumn=1^infty2^nn!
Aqui o conteúdo é teste de convergência de séries numéricas com fatoriais e potências; o Teste da Razão é o mais direto.

Passo 2

Definimos o termo geral
an=2^nn!
e calculamos a razão entre termos consecutivos para aplicar o Teste da Razão.

Passo 3

Calculamos
an+1an =2^n+1(n+1)!2^nn! =2^n+1(n+1)!cdotn!2^n =2n+1
Tomando o limite quando ntoinfty, obtemos
L=limntoinftyan+1an =limntoinfty2n+1 =0
Como L<1, o Teste da Razão garante que a série converge absolutamente.

Passo 4

Além disso, reconhecemos que
sumn=0^infty2^nn!=e^2,
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sumn=1^infty2^nn!=e^2-1,
confirmando a convergência.

Resposta

A série converge absolutamente (e seu valor é e^2-1).

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