Calcule partial fpartial x e partial fpartial y para cada uma das funções abaixo.
f(x, y)=e^x^2 y^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcularmos as derivadas parciais de f(x, y) = e^x^2 y^3 em relação a x e a y . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é essencial quando temos funções compostas, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x .
A função f(x, y) pode ser vista como uma função composta: temos a função exponencial e^u , onde u = x^2 y^3 . Para derivar isso em relação a x , usamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de e^u em relação a x é e^u vezes a derivada de u em relação a x .
Então,
partial fpartial x = e^x^2 y^3 cdot partialpartial x(x^2 y^3)
Agora, derivamos x^2 y^3 em relação a x . Como y^3 é considerado constante quando derivamos em relação a x ,
partialpartial x(x^2 y^3) = 2x y^3
Portanto,
partial fpartial x = e^x^2 y^3 cdot 2x y^3 = 2x y^3 e^x^2 y^3

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, partial fpartial y .
Novamente, usando a regra da cadeia para a função composta e^u , onde u = x^2 y^3 ,
partial fpartial y = e^x^2 y^3 cdot partialpartial y(x^2 y^3)
Derivando x^2 y^3 em relação a y , onde x^2 é constante,
partialpartial y(x^2 y^3) = x^2 cdot 3y^2 = 3x^2 y^2
Assim,
partial fpartial y = e^x^2 y^3 cdot 3x^2 y^2 = 3x^2 y^2 e^x^2 y^3

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = 2x y^3 e^x^2 y^3
e
partial fpartial y = 3x^2 y^2 e^x^2 y^3

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