Seja f(x, y)=-5 x^5+x y-3 y. Calcule:
partial fpartial x e partial fpartial y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa calcular as derivadas parciais da função f(x, y) = -5x^5 + xy - 3y em relação a x e a y . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde a gente analisa como a função muda quando variam apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , denotada por partial fpartial x . Isso significa que tratamos y como uma constante e derivamos a função em relação a x .

Passo 3

Vamos derivar cada termo da função f(x, y) em relação a x :
  • Derivada de -5x^5 em relação a x é -25x^4 (usamos a regra do poder: ddxx^n = nx^n-1 )
  • Derivada de xy em relação a x é y (já que y é constante e a derivada de x é 1)
  • Derivada de -3y em relação a x é 0 (porque y é constante e não depende de x )

Passo 4

Agora, somamos as derivadas dos termos:
partial fpartial x = -25x^4 + y

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , denotada por partial fpartial y . Aqui, tratamos x como constante e derivamos a função em relação a y .

Passo 6

Derivando cada termo de f(x, y) em relação a y :
  • Derivada de -5x^5 em relação a y é 0 (porque x é constante e não depende de y )
  • Derivada de xy em relação a y é x (já que x é constante e a derivada de y é 1)
  • Derivada de -3y em relação a y é -3 (usamos a regra básica: ddyy = 1 )

Passo 7

Somando as derivadas dos termos:
partial fpartial y = x - 3

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = -25x^4 + y
e
partial fpartial y = x - 3

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