Calcule partial fpartial x e partial fpartial y para cada uma das funções abaixo.
f(x, y)=3 x(x-y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular as derivadas parciais de uma função de duas variáveis, que nesse caso é f(x, y) = 3x(x - y) . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. Para isso, vamos precisar entender como derivar em relação a uma variável enquanto a outra permanece constante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x . Quando fazemos isso, tratamos y como uma constante. A função é f(x, y) = 3x(x - y) . Vamos expandir essa expressão para facilitar a derivação:
f(x, y) = 3x^2 - 3xy
Agora, derivamos termo a termo em relação a x :
partial fpartial x = partialpartial x(3x^2) - partialpartial x(3xy) = 6x - 3y

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, partial fpartial y . Desta vez, tratamos x como uma constante. Voltando à função original:
f(x, y) = 3x(x - y) = 3x^2 - 3xy
Derivando termo a termo em relação a y :
partial fpartial y = partialpartial y(3x^2) - partialpartial y(3xy) = 0 - 3x = -3x

Resposta

As derivadas parciais da função f(x, y) = 3x(x - y) são:
partial fpartial x = 6x - 3y
partial fpartial y = -3x

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