Considere o problema de valor inicial
y^prime prime+2 y^prime+6 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=alpha >= 0
Encontre alpha tal que y=0 quando t=1.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'' + 2y' + 6y = 0, y(0)=2, y'(0)=alpha>=0
e pede para achar alpha tal que y(1)=0.
Conteúdo: EDO linear homogênea com coeficientes constantes. Vamos resolver via equação característica e depois impor y(1)=0.

Passo 2

Escrevemos a equação característica
r^2 + 2r + 6 = 0
Suas raízes são
r = -2 pm raiz4 - 242 = -1 pm iraiz5
Logo a solução geral é
y(t) = e^-tl(C1cos(raiz5,t) + C2sin(raiz5,t)r)

Passo 3

Vamos encontrar C1 e C2 pelas condições iniciais. De y(0)=2 vem
C1 = 2
Agora calculamos
y'(t) = e^-tl[-C1cos(raiz5,t)-C2sin(raiz5,t)-raiz5,C1sin(raiz5,t)+raiz5,C2cos(raiz5,t)r]
Em t=0 isso dá
y'(0) = -C1 + raiz5,C2 = alpha Longrightarrow -!2 + raiz5,C2 = alpha Longrightarrow C2 = alpha + 2raiz5

Passo 4

Impondo y(1)=0 na solução
y(1)=e^-1l(2cos(raiz5)+alpha+2raiz5sin(raiz5)r)=0
basta zerar o parêntese:
2cos(raiz5)+alpha+2raiz5sin(raiz5)=0

Passo 5

Resolvendo para alpha:
alpha+2raiz5sin(raiz5) = -2cos(raiz5) Longrightarrow alpha+2 = -2raiz5,cos(raiz5)sin(raiz5) = -2raiz5cot(raiz5)
Longrightarrow alpha = -2 -2raiz5cot(raiz5)
Numericamente, com raiz5approx2,236, cot(raiz5)approx -0,784, obtemos
alphaapprox -2 -2cdot2,236cdot(-0,784)approx1,506

Resposta

alpha = -2 -2raiz5cot(raiz5)approx1,506

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