Calcule cada uma das integrais abaixo.
integral 2 x+3x^2(4 x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 2x+3x^2(4x+1),dx
O conteúdo envolve integração de funções racionais e a técnica escolhida será decomposição em frações parciais.

Passo 2

Assumimos a forma
2x+3x^2(4x+1) = Ax + Bx^2 + C4x+1
Multiplicando por x^2(4x+1), obtém-se
2x+3 = A x(4x+1) + B(4x+1) + C x^2 = (4A+C)x^2 + (A+4B)x + B
Comparando coeficientes, vem
4A + C = 0, A + 4B = 2, B = 3
Logo B=3, A=2-4B=2-12=-10 e C=-4A=40.

Passo 3

Reescrevendo a integral com os coeficientes achados:
integral 2x+3x^2(4x+1),dx = integral l(-10x + 3x^2 + 404x+1r),dx
Agora integramos termo a termo:
integral -10x,dx = -10ln|x|, integral 3x^2,dx = -3x, integral 404x+1,dx = 40cdot14ln|4x+1| = 10ln|4x+1|

Passo 4

Somando as primitivas obtidas, a antiderivada geral é
-10ln|x| ;-;3x;+;10ln|4x+1|;+;C

Resposta

integral 2x+3x^2(4x+1),dx = -10ln|x| - 3x + 10ln|4x+1| + C

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