Questão 8. Resolva os seguintes problemas de Cauchy:
y^prime cdot e^x-y & =1 y(1) & =1 (

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de Cauchy juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial com uma condição inicial. O objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação y' cdot e^x - y = 1 e que passa pelo ponto y(1) = 1 . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e métodos de separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial. Temos y' cdot e^x - y = 1 . Queremos isolar y' , então dividimos ambos os lados por e^x - y :
y' = e^y - x

Passo 3

Agora, a equação está na forma y' = e^y - x . Para resolver isso, podemos usar o método de separação de variáveis, que permite separar os termos que envolvem y dos que envolvem x .

Passo 4

Vamos reescrever a equação de forma que todos os termos com y fiquem de um lado e os termos com x fiquem do outro:
dydx = e^y - x
Isso pode ser reescrito como:
e^-y dy = e^-x dx

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação:
integral e^-y dy = integral e^-x dx
As integrais são:
- e^-y = - e^-x + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Vamos simplificar a equação obtida:
e^-y = e^-x + C
Para resolver para y , tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
-y = ln(e^-x + C)
y = -ln(e^-x + C)

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial y(1) = 1 para encontrar o valor de C . Substituindo x = 1 e y = 1 :
1 = -ln(e^-1 + C)
-1 = ln(e^-1 + C)
e^-1 + C = e^-1
C = 0

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = -ln(e^-x)
Simplificando:
y(x) = x

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