Questão 8. Resolva os seguintes problemas de Cauchy:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de Cauchy juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial com uma condição inicial. O objetivo é encontrar a função
que satisfaz a equação
e que passa pelo ponto
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e métodos de separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial. Temos
. Queremos isolar
, então dividimos ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, a equação está na forma
. Para resolver isso, podemos usar o método de separação de variáveis, que permite separar os termos que envolvem
dos que envolvem
.
Passo 4
Vamos reescrever a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação:
As integrais são:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos simplificar a equação obtida:
Para resolver para
, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Simplificando: