Questão 6. Resolva as EDO’s:
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver a equação diferencial
. Esse tipo de problema faz parte do estudo das Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos precisar entender conceitos de equações exatas, que nos permitem encontrar uma solução através da integração de partes da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Podemos escrever a equação na forma
, onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação é exata se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, precisamos verificar se:
Calculando:
Como as duas derivadas são iguais (
), a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, vamos determinar
. Para isso, vamos calcular a derivada de
em relação a
e igualar à função
:
Subtraindo
dos dois lados:
Isso significa que
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 6
Então, a função
fica:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante.