Questão 6. Resolva as EDO’s:
(x^2+y^2+2 x) d x+2 x y d y=0

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver a equação diferencial (x^2+y^2+2 x) dx + 2 x y , dy = 0. Esse tipo de problema faz parte do estudo das Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Para resolver, vamos precisar entender conceitos de equações exatas, que nos permitem encontrar uma solução através da integração de partes da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Podemos escrever a equação na forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, onde:
  • M(x, y) = x^2 + y^2 + 2x
  • N(x, y) = 2xy

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação é exata se a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de N em relação a x. Ou seja, precisamos verificar se:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Calculando:
partial Mpartial y = 2y
partial Npartial x = 2y
Como as duas derivadas são iguais ( 2y = 2y), a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função F(x, y) tal que:
dF = M , dx + N , dy
Para encontrar F(x, y), vamos integrar M em relação a x:
F(x, y) = integral M , dx = integral (x^2 + y^2 + 2x) , dx
F(x, y) = 13x^3 + y^2x + x^2 + h(y)
Aqui, h(y) é uma função que depende apenas de y.

Passo 5

Agora, vamos determinar h(y). Para isso, vamos calcular a derivada de F(x, y) em relação a y e igualar à função N(x, y):
partial Fpartial y = 2xy + h'(y) = N(x, y) = 2xy
Subtraindo 2xy dos dois lados:
h'(y) = 0
Isso significa que h(y) é uma constante. Vamos chamar essa constante de C.

Passo 6

Então, a função F(x, y) fica:
F(x, y) = 13x^3 + y^2x + x^2 = C
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
13x^3 + y^2x + x^2 = C
onde C é uma constante.

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