Questão 6. Resolva as EDO’s:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que você me passou:
Essa é uma EDO de primeira ordem que pode ser classificada como uma equação exata ou pode precisar de um fator integrante. Para resolver, vamos precisar entender sobre equações exatas e como encontrar soluções para elas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos colocar os termos que envolvem
de um lado e o restante do outro:
Agora, dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 3
Vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Identificamos:
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Um método comum é procurar um fator que depende apenas de
ou apenas de
.
Vamos tentar um fator integrante
que depende apenas de
.
Multiplicamos toda a equação por
:
Para que a equação seja exata, deve-se ter:
Passo 5
Vamos calcular
e
:
Primeiro:
Segundo:
Igualando as duas expressões:
Passo 6
Para que essa igualdade valha para todos os valores de
e
, os coeficientes de
devem ser iguais. Observando os termos, percebemos que para simplificar, o fator integrante deve cancelar os termos que envolvem
.
Isso sugere que o fator integrante
deve satisfazer:
Como esse deve valer para todos os
e
, concluímos que:
Isso significa que não conseguimos encontrar um fator integrante que depende apenas de
. Tentaremos então um fator que depende apenas de
.
Passo 7
Assumindo que o fator integrante
depende apenas de
, multiplicamos a equação original por
:
Aplicamos a condição de exatidão:
Calculando:
Igualando:
Simplificando:
Para que isso seja verdadeiro para todos os
, os coeficientes de
devem ser iguais:
Isso implica que:
Passo 8
Agora que encontramos o fator integrante
, multiplicamos toda a equação original por
:
Com isso, a equação se torna exata, e podemos escrever a solução geral integrando.
Passo 9
Para encontrar a solução, integramos
em relação a
:
Assumindo
constante durante a integração:
Resolvendo as integrais:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.