Questão 6. Resolva as EDO’s:
(2 x y+x^2 y+y^33)+(x^2+y^2) y^prime=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que você me passou:
(2 x y + x^2 y + y^33) + (x^2 + y^2) y' = 0
Essa é uma EDO de primeira ordem que pode ser classificada como uma equação exata ou pode precisar de um fator integrante. Para resolver, vamos precisar entender sobre equações exatas e como encontrar soluções para elas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos colocar os termos que envolvem y' de um lado e o restante do outro:
(x^2 + y^2) y' = -(2 x y + x^2 y + y^33)
Agora, dividimos ambos os lados por x^2 + y^2 para isolar y' :
y' = -2 x y + x^2 y + y^33x^2 + y^2

Passo 3

Vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial na forma M(x, y) + N(x, y) y' = 0 é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x .
Identificamos:
M(x, y) = 2 x y + x^2 y + y^33
N(x, y) = x^2 + y^2
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2 x + x^2 + y^2
partial Npartial x = 2 x
Como partial Mpartial y neq partial Npartial x , a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Um método comum é procurar um fator que depende apenas de x ou apenas de y .
Vamos tentar um fator integrante mu(y) que depende apenas de y .
Multiplicamos toda a equação por mu(y) :
mu(y) (2 x y + x^2 y + y^33) + mu(y) (x^2 + y^2) y' = 0
Para que a equação seja exata, deve-se ter:
ddy [mu(y) M] = ddx [mu(y) N]

Passo 5

Vamos calcular ddy [mu(y) M] e ddx [mu(y) N] :
Primeiro:
ddy [mu(y) M] = mu'(y) M + mu(y) partial Mpartial y
= mu'(y) (2 x y + x^2 y + y^33) + mu(y) (2 x + x^2 + y^2)
Segundo:
ddx [mu(y) N] = mu(y) partial Npartial x
= mu(y) (2 x)
Igualando as duas expressões:
mu'(y) (2 x y + x^2 y + y^33) + mu(y) (2 x + x^2 + y^2) = mu(y) (2 x)

Passo 6

Para que essa igualdade valha para todos os valores de x e y , os coeficientes de x devem ser iguais. Observando os termos, percebemos que para simplificar, o fator integrante deve cancelar os termos que envolvem x .
Isso sugere que o fator integrante mu(y) deve satisfazer:
mu'(y) (2 x y + x^2 y + y^33) = 0
Como esse deve valer para todos os x e y , concluímos que:
mu'(y) = 0 implies mu(y) = constante
Isso significa que não conseguimos encontrar um fator integrante que depende apenas de y . Tentaremos então um fator que depende apenas de x .

Passo 7

Assumindo que o fator integrante mu(x) depende apenas de x , multiplicamos a equação original por mu(x) :
mu(x) (2 x y + x^2 y + y^33) + mu(x) (x^2 + y^2) y' = 0
Aplicamos a condição de exatidão:
ddy [mu(x) M] = ddx [mu(x) N]
Calculando:
ddy [mu(x) M] = mu(x) partial Mpartial y = mu(x) (2 x + x^2 + y^2)
ddx [mu(x) N] = mu'(x) (x^2 + y^2) + mu(x) partial Npartial x = mu'(x) (x^2 + y^2) + mu(x) (2 x)
Igualando:
mu(x) (2 x + x^2 + y^2) = mu'(x) (x^2 + y^2) + mu(x) (2 x)
Simplificando:
mu(x) x^2 + mu(x) y^2 = mu'(x) (x^2 + y^2)
Para que isso seja verdadeiro para todos os y , os coeficientes de y^2 devem ser iguais:
mu(x) = mu'(x)
Isso implica que:
mu'(x)mu(x) = 1 implies ln mu(x) = x + C implies mu(x) = e^x

Passo 8

Agora que encontramos o fator integrante mu(x) = e^x , multiplicamos toda a equação original por e^x :
e^x (2 x y + x^2 y + y^33) + e^x (x^2 + y^2) y' = 0
Com isso, a equação se torna exata, e podemos escrever a solução geral integrando.

Passo 9

Para encontrar a solução, integramos M em relação a x :
integral e^x (2 x y + x^2 y + y^33) dx
Assumindo y constante durante a integração:
= y integral e^x (2 x + x^2) dx + y^33 integral e^x dx
Resolvendo as integrais:
= y e^x (x^2 - 2x + 2) + y^33 e^x + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y e^x (x^2 - 2x + 2) + y^33 e^x = C
Onde C é a constante de integração.

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