Questão 9. Resolva as EDO’s redutíveis:
x y^prime prime+y^prime+x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de segunda ordem
x,y'' + y' + x = 0
Repare que y não aparece isoladamente, apenas y' e y''. Isso caracteriza uma EDO redutível, e vamos usar a substituição
u = y'
para reduzir a ordem.

Passo 2

Dividindo por x (supondo xneq0) obtemos a forma padrão
y'' + 1x,y' + 1 = 0

Passo 3

Com u=y' e u'=y'', a equação vira
u' + 1x,u + 1 = 0,
que é uma EDO linear de primeira ordem em u.

Passo 4

O fator integrante é
mu(x)=exp!l(integral1x,dxr)=x
Multiplicando a EDO por x resulta em
x,u' + u + x = 0 Long<=ftrightarrow (x,u)' + x = 0

Passo 5

Integramos em relação a x:
(x,u)' = -x Longrightarrow x,u = -integral x,dx + C1 = -x^22 + C1
Logo
u = y' = -x2 + C1x

Passo 6

Finalmente integramos u para achar y:
y = integral y',dx = integrall(-x2 + C1xr),dx = -x^24 + C1lnlvert xrvert + C2

Resposta

y(x) = -x^24 + C1lnlvert xrvert + C2

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