Resolver
Encontre o valor de: \operatorname{sen}\left(\frac{15 \pi}{4}\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular \operatorname{sen}\bigl(\tfrac{15\pi}{4}\bigr). Isso envolve conteúdo de trigonometria, mais precisamente a periodicidade da função seno e a identificação do quadrante e do ângulo referência.

Passo 2

Usamos a periodicidade de 2\pi no seno, ou seja,
\operatorname{sen}(\theta + 2\pi) = \operatorname{sen}(\theta).
Como
\frac{15\pi}{4} = 2\pi + \frac{7\pi}{4},
temos
\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{15\pi}{4}\bigr) = \operatorname{sen}\Bigl(2\pi + \tfrac{7\pi}{4}\Bigr) = \operatorname{sen}\bigl(\tfrac{7\pi}{4}\bigr).

Passo 3

O ângulo \tfrac{7\pi}{4} corresponde a 315^\circ, que está no quarto quadrante. O ângulo referência para 315^\circ (ou \tfrac{7\pi}{4}) é
2\pi - \tfrac{7\pi}{4} = \tfrac{\pi}{4}.
No quarto quadrante, o seno é negativo.

Passo 4

Sabendo que
\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \frac{\sqrt{2}}{2},
concluímos
\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{7\pi}{4}\bigr) = -\,\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

-\frac{\sqrt{2}}{2}

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