Encontre os valores máximos e mínimos globais de f (se existirem) no intervalo dado: m(x) = 1 / (x - x^2) no intervalo 0,1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos a função e precisamos encontrar os valores máximos e mínimos globais dessa função no intervalo aberto de . Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo, especialmente sobre como encontrar máximos e mínimos usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar o trabalho. A função pode ser reescrita como:
Isso ajuda a visualizar melhor o comportamento da função no intervalo dado.

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos, vamos calcular a derivada de . A derivada nos mostra a taxa de variação da função, e pontos onde a derivada é zero ou não existe são candidatos a extremos.
Vamos derivar :
Usando a regra da cadeia e a regra do quociente, obtemos:

Passo 4

Agora, vamos analisar onde a derivada é igual a zero ou não existe:
Observamos que o numerador é sempre , que nunca é zero. Portanto, não há pontos onde a derivada é zero. A derivada também não existe nos pontos onde o denominador é zero, mas isso acontece em e , que não estão incluídos no intervalo aberto .

Passo 5

Sem pontos onde a derivada é zero dentro do intervalo, não temos candidatos a máximos ou mínimos internos. Vamos então analisar o comportamento da função nos limites do intervalo, mesmo que os pontos não sejam incluídos.
Quando se aproxima de por valores positivos:
E quando se aproxima de por valores menores que 1:
Isso indica que a função cresce sem limite nas proximidades de 0 e 1.

Passo 6

Como não há pontos no interior do intervalo onde a função atinge um valor máximo ou mínimo e a função tende ao infinito nos limites, concluímos que não possui valores máximos ou mínimos globais no intervalo .

Resposta

A função não possui valores máximos ou mínimos globais no intervalo aberto .

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