Encontre os valores máximos e mínimos globais de f (se existirem) no intervalo dado:
no intervalo
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar os valores máximos e mínimos globais dessa função no intervalo aberto de
. Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo, especialmente sobre como encontrar máximos e mínimos usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar o trabalho. A função
pode ser reescrita como:
Isso ajuda a visualizar melhor o comportamento da função no intervalo dado.
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos, vamos calcular a derivada de
. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, e pontos onde a derivada é zero ou não existe são candidatos a extremos.
Vamos derivar
:
Usando a regra da cadeia e a regra do quociente, obtemos:
Passo 4
Agora, vamos analisar onde a derivada é igual a zero ou não existe:
Observamos que o numerador é sempre
, que nunca é zero. Portanto, não há pontos onde a derivada é zero. A derivada também não existe nos pontos onde o denominador é zero, mas isso acontece em
e
, que não estão incluídos no intervalo aberto
.
Passo 5
Sem pontos onde a derivada é zero dentro do intervalo, não temos candidatos a máximos ou mínimos internos. Vamos então analisar o comportamento da função nos limites do intervalo, mesmo que os pontos não sejam incluídos.
Quando
se aproxima de
por valores positivos:
E quando
se aproxima de
por valores menores que 1:
Isso indica que a função cresce sem limite nas proximidades de 0 e 1.
Passo 6
Como não há pontos no interior do intervalo onde a função atinge um valor máximo ou mínimo e a função tende ao infinito nos limites, concluímos que
não possui valores máximos ou mínimos globais no intervalo
.
Resposta
A função
não possui valores máximos ou mínimos globais no intervalo aberto
.