Calcule cada uma das integrais abaixo.
integral tan ^2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Isso está dentro do tópico de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que nos ajude a simplificar a expressão da tangente ao quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante:
tan^2(x) = sec^2(x) - 1
Essa identidade nos permite reescrever a tangente ao quadrado em termos de secante ao quadrado, que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Substituindo a identidade na integral, temos:
integral tan^2(x) , dx = integral (sec^2(x) - 1) , dx
Agora, podemos separar a integral em duas partes:
integral sec^2(x) , dx - integral 1 , dx

Passo 4

Vamos integrar cada parte separadamente.
Primeiro, sabemos que a integral de integral sec^2(x) , dx = tan(x) + C é:
integral 1 , dx = x + C
onde é a constante de integração.
Segundo, a integral de em relação a é:

Passo 5

Agora, juntamos as duas partes que integramos:
tan(x) - x + C
Onde representa a constante de integração geral.

Resposta

A integral de integral tan^2(x) , dx = tan(x) - x + C é:

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