Calcule cada uma das integrais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Isso está dentro do tópico de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que nos ajude a simplificar a expressão da tangente ao quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante:
Essa identidade nos permite reescrever a tangente ao quadrado em termos de secante ao quadrado, que é mais fácil de integrar.
Passo 3
Substituindo a identidade na integral, temos:
Agora, podemos separar a integral em duas partes:
Passo 4
Vamos integrar cada parte separadamente.
Primeiro, sabemos que a integral de
é:
onde
é a constante de integração.
Segundo, a integral de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, juntamos as duas partes que integramos:
Onde
representa a constante de integração geral.
Resposta
A integral de
é: