Mostre, por definição que,
garante
. É verdade que
garante
. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar, usando a definição de limite, que se o limite de
quando
se aproxima de
é
, então o limite de
é
. Depois, queremos saber se o contrário também é verdade. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de limites e propriedades de funções absolutas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que, para qualquer número pequeno
, existe um
tal que, se
, então
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o limite de
. Sabemos que
(isso é uma propriedade das funções absolutas). Então, se
, também teremos
.
Passo 4
Então, usando a definição de limite, se
, para todo
existe um
tal que
implica
. Isso exatamente significa que
.
Passo 5
Agora, vamos ver se o inverso é verdadeiro: se
, isso garante que
? A resposta é não, não necessariamente.
Passo 6
Para entender por quê, vamos pensar em um exemplo. Suponha que
para todo
próximo de
. Então,
, então
. Mas, claramente,
, que é diferente de
.
Passo 7
Esse exemplo mostra que mesmo que o limite do valor absoluto de
seja
, o limite de
pode ser
, não necessariamente
. Portanto, a segunda afirmação não é sempre verdadeira.
Resposta
Sim,
garante que
. Porém, o contrário não é verdadeiro:
não necessariamente implica que
.