Mostre, por definição que, lim x p f(x)=L garante lim x p|f(x)|=|L|. É verdade que lim x p|f(x)|=|L| garante lim x p f(x)=L ?. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar, usando a definição de limite, que se o limite de quando se aproxima de é , então o limite de é . Depois, queremos saber se o contrário também é verdade. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de limites e propriedades de funções absolutas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que, para qualquer número pequeno , existe um tal que, se , então .

Passo 3

Agora, queremos encontrar o limite de . Sabemos que (isso é uma propriedade das funções absolutas). Então, se , também teremos .

Passo 4

Então, usando a definição de limite, se , para todo existe um tal que implica . Isso exatamente significa que .

Passo 5

Agora, vamos ver se o inverso é verdadeiro: se , isso garante que ? A resposta é não, não necessariamente.

Passo 6

Para entender por quê, vamos pensar em um exemplo. Suponha que para todo próximo de . Então, , então . Mas, claramente, , que é diferente de .

Passo 7

Esse exemplo mostra que mesmo que o limite do valor absoluto de seja , o limite de pode ser , não necessariamente . Portanto, a segunda afirmação não é sempre verdadeira.

Resposta

Sim, garante que . Porém, o contrário não é verdadeiro: não necessariamente implica que .

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