Verifique, por derivação, que a fórmula está correta. integral 1x^2 raiz1+x^2 d x=-raiz1+x^2x+C

Passo 1

Vamos analisar o exercício: precisamos verificar se a fórmula da integral integral 1x^2 raiz1+x^2 , dx = -raiz1+x^2x + C está correta usando derivação. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas. Vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções compostas e racionais.

Passo 2

Para verificar se a fórmula está correta, vamos derivar a expressão do lado direito da igualdade e ver se obtemos o integrando original 1x^2 raiz1+x^2.

Passo 3

A expressão que vamos derivar é -raiz1+x^2x. Primeiro, vamos reescrever isso como - (1+x^2)^1/2 cdot x^-1 para facilitar a aplicação das regras de derivação.

Passo 4

Aplicamos a regra do produto para derivar - (1+x^2)^1/2 cdot x^-1:
ddx[- (1+x^2)^1/2 cdot x^-1] = - [ 12(1+x^2)^-1/2 cdot 2x cdot x^-1 + (1+x^2)^1/2 cdot (-x^-2) ]
Simplificando:
= - [ x(1+x^2)^1/2 cdot x - (1+x^2)^1/2x^2 ] = - [ 1(1+x^2)^1/2 - (1+x^2)^1/2x^2 ]

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão obtida:
= - 1raiz1+x^2 + raiz1+x^2x^2
Reorganizando os termos:
= raiz1+x^2x^2 - 1raiz1+x^2

Passo 6

Observamos que o termo raiz1+x^2x^2 - 1raiz1+x^2 é equivalente ao integrando original 1x^2 raiz1+x^2.

Resposta

A derivada de -raiz1+x^2x + C é igual a 1x^2 raiz1+x^2, confirmando que a fórmula está correta.

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