Verifique, por derivação, que a fórmula está correta. integral x raiza+b x d x=215 h^2(3 b x-2 a)(a+b x)^3 / 2+C

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa aqui. O exercício pede para verificar, usando derivação, se uma certa fórmula de integral está correta. A integral que temos é:
integral x raiza + b x , dx = 215 b^2 (3 b x - 2 a) (a + b x)^3/2 + C
Nós vamos precisar usar o conceito de derivação, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia, para calcular a derivada da expressão do lado direito e ver se ela corresponde à função dentro da integral, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a expressão do lado direito da igualdade em relação a . Ou seja, queremos encontrar .

Passo 3

Para facilitar, vamos chamar:
u = 3 b x - 2 a e v = (a + b x)^3/2
Assim, nossa expressão fica:
215 b^2 cdot u cdot v
Agora, para diferenciar , vamos usar a regra do produto, que diz que .

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas de u = 3 b x - 2 a Rightarrow u' = ddx(3 b x - 2 a) = 3 b e v = (a + b x)^3/2 Rightarrow v' = ddx(a + b x)^3/2 = 32 b (a + b x)^1/2 :
Aqui usamos a regra da cadeia para derivar .

Passo 5

Agora, aplicando a regra do produto:
ddx(u cdot v) = u' cdot v + u cdot v' = 3 b cdot (a + b x)^3/2 + (3 b x - 2 a) cdot 32 b (a + b x)^1/2

Passo 6

Vamos fatorar = 3 b (a + b x)^3/2 + 32 b (3 b x - 2 a) (a + b x)^1/2 e = 3 b (a + b x)^1/2 [ (a + b x) + 12 (3 b x - 2 a) ] da expressão:

Passo 7

Simplificando o que está dentro dos colchetes:
(a + b x) + 12 (3 b x - 2 a) = a + b x + 32 b x - a = 52 b x
Então, temos:
= 3 b (a + b x)^1/2 cdot 52 b x = 152 b^2 x (a + b x)^1/2

Passo 8

Agora, lembrando que a derivada da expressão original era multiplicada por ddx [ 215 b^2 (3 b x - 2 a) (a + b x)^3/2 ] = 215 b^2 cdot 152 b^2 x (a + b x)^1/2 = x raiza + b x , vamos multiplicar:

Resposta

Após derivar a expressão do lado direito, obtemos exatamente . Portanto, a fórmula dada está correta.

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