Verifique, por derivação, que a fórmula está correta.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa aqui. O exercício pede para verificar, usando derivação, se uma certa fórmula de integral está correta. A integral que temos é:
Nós vamos precisar usar o conceito de derivação, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia, para calcular a derivada da expressão do lado direito e ver se ela corresponde à função dentro da integral, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar a expressão do lado direito da igualdade em relação a
. Ou seja, queremos encontrar
.
Passo 3
Para facilitar, vamos chamar:
Assim, nossa expressão fica:
Agora, para diferenciar
, vamos usar a regra do produto, que diz que
.
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas de
e
:
Aqui usamos a regra da cadeia para derivar
.
Passo 5
Agora, aplicando a regra do produto:
Passo 6
Vamos fatorar
e
da expressão:
Passo 7
Simplificando o que está dentro dos colchetes:
Então, temos:
Passo 8
Agora, lembrando que a derivada da expressão original era multiplicada por
, vamos multiplicar:
Resposta
Após derivar a expressão do lado direito, obtemos exatamente
. Portanto, a fórmula dada está correta.