Calcule cada uma das integrais indefinidas a seguir:
\int x^{3} \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{3}\ln x \,dx
O conteúdo aqui é integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as funções para aplicar integração por partes. Uma boa escolha é
u = \ln x e dv = x^{3}\,dx.
Então calculamos
du = \frac{1}{x}\,dx
e
v = \int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula
\int x^{3}\ln x \,dx = u\,v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du, vem
\int x^{3}\ln x \,dx = \left(\ln x\right)\!\left(\frac{x^{4}}{4}\right) - \int \left(\frac{x^{4}}{4}\right)\!\left(\frac{1}{x}\,dx\right).

Passo 4

Dentro da integral que resta temos
\int \frac{x^{4}}{4}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{4}\int x^{3}\,dx = \frac{1}{4}\cdot\frac{x^{4}}{4} = \frac{x^{4}}{16}.
Logo
\int x^{3}\ln x \,dx = \frac{x^{4}}{4}\ln x - \frac{x^{4}}{16} + C.

Resposta

\int x^{3}\ln x \,dx = \frac{x^{4}}{4}\ln x - \frac{x^{4}}{16} + C.

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