Calcule cada uma das integrais definidas a seguir:
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\bigl(1+x^{2}\bigr)^{2}}\,dx.
O conteúdo é cálculo de integrais racionais; vamos usar uma técnica de decomposição do integrando e, em seguida, antiderivadas conhecidas.

Passo 2

Escrevemos
\frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{2}} =\frac{1+x^{2}-1}{(1+x^{2})^{2}} =\frac{1}{1+x^{2}}-\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}
e, portanto,
\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}\,dx =\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx -\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}\,dx.

Passo 3

A primeira integral é imediata:
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx =\bigl[\arctan(x)\bigr]_{0}^{1} =\arctan(1)-\arctan(0) =\frac{\pi}{4}.

Passo 4

Para a segunda integral, fazemos x=\tan\theta, logo dx=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e
\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}\,dx =\frac{\operatorname{sec}^{2}\theta}{\operatorname{sec}^{4}\theta}\,d\theta =\cos^{2}\theta\,d\theta.
Temos
\int\cos^{2}\theta\,d\theta =\int\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =\frac{\theta}{2}+\frac{\sin(2\theta)}{4}+C =\frac{\theta}{2}+\frac{\sin\theta\cos\theta}{2}+C.
Voltando a x, como \theta=\arctan(x), \sin\theta=\tfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} e \cos\theta=\tfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}, obtemos a antiderivada
\int\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}\,dx =\frac{x}{2(1+x^{2})}+\frac{1}{2}\arctan(x)+C.
Avaliada de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+x^{2})^{2}}\,dx =\Bigl[\frac{x}{2(1+x^{2})}+\frac{1}{2}\arctan(x)\Bigr]_{0}^{1} =\Bigl(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4}\Bigr)-0 =\frac{1}{4}+\frac{\pi}{8}.

Passo 5

Substituindo os resultados em \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}\,dx =\frac{\pi}{4}-\Bigl(\frac{1}{4}+\frac{\pi}{8}\Bigr)
temos
\frac{\pi}{4}-\frac{1}{4}-\frac{\pi}{8} =\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4} =\frac{\pi-2}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi-2}{8}

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