Para as funções abaixo,
a) determine a equação da reta tangente em cada um dos pontos dados.
b) existe algum ponto em que a reta tangente ao gráfico é horizontal?
c) Opcional: faça um esboço do gráfico e das retas tangentes calculadas no item (a). Pode ser feito com o auxílio do computador, usando um software de computação científica, tipo Geogebra.
f(x)=x^{4}-6 x^{2}, pontos x=1 e x=2.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{4}-6x^{2}
e pede em (a) as equações das retas tangentes nos pontos x=1 e x=2, em (b) se existe ponto de tangente horizontal, e em (c) opcionalmente um esboço. Para as retas tangentes usamos a derivada para obter o coeficiente angular e, em seguida, a fórmula ponto-declive.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}-6x^{2}\bigr) =4x^{3}-12x.

Passo 3

Para x=1 determinamos o ponto e a inclinação:
f(1)=1^{4}-6\cdot1^{2}=1-6=-5, \quad f'(1)=4\cdot1^{3}-12\cdot1=4-12=-8.
A reta tangente em (1,-5) tem coeficiente angular -8, logo pela fórmula
y-(-5)=-8\,(x-1)
temos
y=-8x+8-5 \quad\Longrightarrow\quad y=-8x+3.

Passo 4

Para x=2 calculamos
f(2)=2^{4}-6\cdot2^{2}=16-24=-8, \quad f'(2)=4\cdot2^{3}-12\cdot2=32-24=8.
A reta tangente em (2,-8) com coeficiente 8 é dada por
y-(-8)=8\,(x-2)
ou seja
y=8x-16-8 \quad\Longrightarrow\quad y=8x-24.

Passo 5

Para achar pontos de tangente horizontal resolvemos
f'(x)=4x^{3}-12x=4x(x^{2}-3)=0
que dá
x\in\{0,\pm\sqrt{3}\}.
Nesses valores a inclinação é zero, logo as retas tangentes são horizontais.

Resposta

(a) Em x=1: \;y=-8x+3.
Em x=2: \;y=8x-24.
(b) Sim. Há tangente horizontal onde
\;x\in\{0,\pm\sqrt{3}\}.
(c) Esboço opcional não apresentado aqui.

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