Calcule cada uma das integrais definidas a seguir:
\int_{1}^{2} \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{1}^{2}\ln x\,dx. O conteúdo é integral definida e, como não podemos integrar \ln x de forma direta, vamos usar o método de integração por partes.

Passo 2

A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv \;=\; u\,v \;-\;\int v\,du.
Para simplificar, escolhemos
u = \ln x \quad\text{e}\quad dv = dx.

Passo 3

Derivando e integrando cada parte:
du = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \int dx = x.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C.
Portanto, \,x\ln x - x é a antiderivada de \ln x.

Passo 5

Agora avaliamos de 1 a 2:
\int_{1}^{2}\ln x\,dx = \bigl[x\ln x - x\bigr]_{1}^{2} = \bigl(2\ln2 - 2\bigr) - \bigl(1\ln1 - 1\bigr) = 2\ln2 - 2 - (0 - 1) = 2\ln2 - 1.

Resposta

2\ln2 - 1

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