Determine o ponto da parábola y=x^{2} mais perto de (14,1)
Determine o ponto do elipsoide x^{2}+4 y^{2}+z^{2}=1 que maximiza a soma x+2 y+z.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar o ponto da parábola y=x^{2} que fica mais perto de (14,1). Isso é um problema de otimização sem restrição explícita em que minimizamos a distância (ou distância ao quadrado) de um ponto variável (x,x^2) a (14,1). Vamos usar derivadas.
  2. Determinar o ponto do elipsoide x^{2}+4y^{2}+z^{2}=1 que maximiza a soma x+2y+z. Aqui aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange para otimização com restrição.

Passo 2

Para o primeiro problema, parametrizamos pontos da parábola por (x,x^2) e minimizamos a função distância ao quadrado
f(x) = (x-14)^{2} + (x^{2}-1)^{2}.
Essa escolha evita a raiz quadrada e tem o mesmo minimizador que a distância.

Passo 3

Calculamos a derivada de f e igualamos a zero:
f'(x) = 2(x-14)\;+\;2(x^{2}-1)\cdot 2x = 2(x-14) + 4x(x^{2}-1).
Logo a condição de extremante é
2(x-14) + 4x(x^{2}-1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x^{3} - x - 14 = 0.
Verificamos que x=2 é raiz, e não há outra raiz real relevante. Então x=2 e y=2^{2}=4.

Passo 4

Para o segundo problema, construímos a função de Lagrange
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda) = x + 2y + z \;-\;\lambda\bigl(x^{2} + 4y^{2} + z^{2} -1\bigr).
As condições \nabla\mathcal{L}=0 dão o sistema
\begin{cases} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}: 1 - 2\lambda x = 0,\\\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}: 2 - 8\lambda y = 0,\\\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}: 1 - 2\lambda z = 0,\\\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}: x^{2} + 4y^{2} + z^{2} -1 = 0. \end{cases}

Passo 5

Das duas primeiras equações obtemos
x = \frac{1}{2\lambda}, \quad y = \frac{2}{8\lambda} = \frac{1}{4\lambda}, \quad z = \frac{1}{2\lambda}.
Substituindo na restrição
\Bigl(\tfrac{1}{2\lambda}\Bigr)^{2} +4\Bigl(\tfrac{1}{4\lambda}\Bigr)^{2} +\Bigl(\tfrac{1}{2\lambda}\Bigr)^{2} = \frac{1}{4\lambda^{2}} + \frac{4}{16\lambda^{2}} + \frac{1}{4\lambda^{2}} = \frac{3}{4\lambda^{2}} = 1,
o que dá \lambda^{2}=3/4. Para maximizar x+2y+z=\tfrac{3}{2\lambda} escolhemos \lambda=+\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Portanto
x = \frac{1}{2\lambda} = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad y = \frac{1}{4\lambda} = \frac{1}{2\sqrt{3}}, \quad z = \frac{1}{\sqrt{3}}.

Resposta

O ponto da parábola mais próximo de (14,1) é (2,4).
O ponto do elipsoide que maximiza x+2y+z é
\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\,\tfrac{1}{2\sqrt{3}},\,\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr).

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