Determine o ponto da parábola y=x^{2} mais perto de (14,1)
Determine o ponto do elipsoide x^{2}+4 y^{2}+z^{2}=1 que maximiza a soma x+2 y+z.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Determinar o ponto da parábola y=x^{2} que fica mais perto de (14,1). Isso é um problema de otimização sem restrição explícita em que minimizamos a distância (ou distância ao quadrado) de um ponto variável (x,x^2) a (14,1). Vamos usar derivadas.
Determinar o ponto do elipsoide x^{2}+4y^{2}+z^{2}=1 que maximiza a soma x+2y+z. Aqui aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange para otimização com restrição.
Passo 2
Para o primeiro problema, parametrizamos pontos da parábola por (x,x^2) e minimizamos a função distância ao quadrado
f(x) = (x-14)^{2} + (x^{2}-1)^{2}.
Essa escolha evita a raiz quadrada e tem o mesmo minimizador que a distância.