Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{1} \frac{2 x-3}{(x-4)(x+7)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{2x - 3}{(x - 4)(x + 7)} \, dx.
Trata-se de uma função racional, que vamos resolver usando decomposição em frações parciais.

Passo 2

Escrevemos
\frac{2x - 3}{(x - 4)(x + 7)} \;=\; \frac{A}{x - 4} \;+\; \frac{B}{x + 7}.
Multiplicando ambos os lados por (x - 4)(x + 7), obtemos a identidade
2x - 3 = A(x + 7) + B(x - 4).

Passo 3

Igualando coeficientes de x e termo constante, vem
A + B = 2,
7A - 4B = -3.
Da primeira equação tem A = 2 - B. Substituindo na segunda:
7(2 - B) - 4B = -3 \quad\Longrightarrow\quad 14 - 7B - 4B = -3 \quad\Longrightarrow\quad -11B = -17 \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{17}{11},
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A = 2 - \frac{17}{11} = \frac{5}{11}.

Passo 4

Substituindo na integral,
\int_{0}^{1} \frac{2x - 3}{(x - 4)(x + 7)} \, dx = \int_{0}^{1}\Bigl(\frac{5/11}{x - 4} + \frac{17/11}{x + 7}\Bigr)\,dx = \frac{1}{11}\int_{0}^{1}\Bigl(\frac{5}{x - 4} + \frac{17}{x + 7}\Bigr)\,dx.
Como \displaystyle\int \frac{dx}{x - a} = \ln\lvert x - a\rvert, segue
= \frac{1}{11}\Bigl[5\ln\lvert x - 4\rvert + 17\ln\lvert x + 7\rvert\Bigr]_{0}^{1}.

Passo 5

Avalia-mos em x=1 e x=0:
Para x=1:
5\ln\lvert1-4\rvert + 17\ln\lvert1+7\rvert = 5\ln(3) + 17\ln(8),
para x=0:
5\ln\lvert0-4\rvert + 17\ln\lvert0+7\rvert = 5\ln(4) + 17\ln(7).
Logo a integral vale
\frac{1}{11}\bigl[(5\ln3 + 17\ln8) - (5\ln4 + 17\ln7)\bigr].
Podemos simplificar 17\ln8 = 51\ln2 e 5\ln4 = 10\ln2, resultando em
\frac{1}{11}\bigl(5\ln3 + 41\ln2 - 17\ln7\bigr).

Resposta

\boxed{\int_{0}^{1} \frac{2x - 3}{(x - 4)(x + 7)} \, dx = \frac{1}{11}\bigl(5\ln3 + 41\ln2 - 17\ln7\bigr).}

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