Decomponha cada função racional a seguir em soma de frações parciais, sem determinar as constantes:
\frac{5 x+3}{\left(x^{2}+1\right)^{2}(x-4)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para decompor em frações parciais a função racional
\frac{5x+3}{(x^2+1)^2\,(x-4)^3}.
O conteúdo é “frações parciais” aplicado a fatores lineares repetidos e a fatores quadráticos irreduzíveis repetidos. Para resolver, precisamos escrever a forma geral da decomposição, levando em conta as multiplicidades de cada fator do denominador.

Passo 2

Identificamos dois tipos de fatores no denominador:
  • fator linear repetido (x-4)^3,
  • fator quadrático irreduzível repetido (x^2+1)^2.
A forma geral de decomposição para esses fatores é:
\frac{5x+3}{(x^2+1)^2\,(x-4)^3} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{(x-4)^2} + \frac{C}{(x-4)^3} + \frac{Dx+E}{x^2+1} + \frac{Fx+G}{(x^2+1)^2},
onde A,B,C,D,E,F,G são constantes a determinar.

Passo 3

Para encontrar as constantes, multiplica-se ambos os lados por (x^2+1)^2\,(x-4)^3 e iguala-se o numerador resultante a um polinômio de grau até 4 em x. Como o enunciado não pede os valores de A,B,C,D,E,F,G, interrompemos a decomposição aqui.

Resposta

\frac{5x+3}{(x^2+1)^2\,(x-4)^3} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{(x-4)^2} + \frac{C}{(x-4)^3} + \frac{Dx+E}{x^2+1} + \frac{Fx+G}{(x^2+1)^2}.

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