Calcule cada uma das integrais iteradas abaixo:
\int_{1}^{3} \int_{0}^{1} 1+4 x y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{1}^{3}\int_{0}^{1}\bigl(1+4xy\bigr)\,dx\,dy.
Esse problema envolve integrais de funções de duas variáveis, onde primeiro integramos em x (de 0 a 1) e depois em y (de 1 a 3).

Passo 2

Calcular a integral interna em x:
\int_{0}^{1}\bigl(1+4xy\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}1\,dx+\int_{0}^{1}4xy\,dx.
Para a primeira parte,
\int_{0}^{1}1\,dx=\bigl[x\bigr]_{0}^{1}=1.
Para a segunda parte, y é constante em relação a x, então
\int_{0}^{1}4xy\,dx=4y\int_{0}^{1}x\,dx =4y\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} =4y\cdot\frac{1}{2}=2y.
Somando, a integral interna vale
1+2y.

Passo 3

Agora integramos em y de 1 a 3:
\int_{1}^{3}\bigl(1+2y\bigr)\,dy =\int_{1}^{3}1\,dy+\int_{1}^{3}2y\,dy.
Calculando cada parte,
\int_{1}^{3}1\,dy=\bigl[y\bigr]_{1}^{3}=3-1=2,
\int_{1}^{3}2y\,dy=2\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{1}^{3} =\bigl[y^{2}\bigr]_{1}^{3} =9-1=8.
Logo,
\int_{1}^{3}\bigl(1+2y\bigr)\,dy=2+8=10.

Resposta

O valor da integral iterada é 10.

Exercícios relacionados