Seja f(x, y, z)=e{\sqrt{z-x{2}-y^{2}}}.
Determine o domínio de f.
Seja f(x, y)=x^{2} e^{3 x y}.
Determine o domínio de f.

Passo 1

O enunciado apresenta duas funções para as quais queremos achar o domínio. A primeira é f(x,y,z)=e^{\sqrt{\,z - x^{2} - y^{2}\,}}, cujo conteúdo envolve uma raiz quadrada e um exponencial. A segunda é f(x,y)=x^{2}e^{3xy}, que é um polinômio multiplicado por um exponencial. Para resolver, precisamos lembrar que
  1. O radicando de \sqrt{\cdot} deve ser não negativo.
  2. A função exponencial e^{u} está definida para todo u\in\mathbb{R}.

Passo 2

Analisando f(x,y,z)=e^{\sqrt{\,z - x^{2} - y^{2}\,}}, note que o expoente é \sqrt{\,z - x^{2} - y^{2}\,}. Como e^{u} não impõe restrição em u, só precisamos garantir que
z - x^{2} - y^{2} \ge 0,
para que a raiz quadrada seja real.

Passo 3

Da desigualdade do passo anterior, concluímos que todos os pontos (x,y,z) devem satisfazer
z \ge x^{2} + y^{2}.
Portanto o domínio dessa primeira função é
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z \ge x^{2} + y^{2}\}.

Passo 4

Agora, para f(x,y)=x^{2}e^{3xy}, temos um produto de x^{2} (polinomial, definido para todo par real) e e^{3xy} (exponencial, também definido para todo argumento real). Não há nenhuma raiz ou divisão que imponha restrição.

Passo 5

Logo o domínio dessa segunda função é todo o plano real: \mathbb{R}^{2}.

Resposta

Domínio de f(x,y,z)=e^{\sqrt{\,z - x^{2} - y^{2}\,}}: \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid z \ge x^{2} + y^{2}\}. Domínio de f(x,y)=x^{2}e^{3xy}: \mathbb{R}^{2}.

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