Calcule cada uma das integrais iteradas abaixo:
\int_{0}^{3} \int_{0}^{4} 2 x+3 x^{2} y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{3}\int_{0}^{4}\bigl(2x + 3x^{2}y\bigr)\,dy\,dx.
O conteúdo é integração iterada de uma função polinomial em duas variáveis, integrando primeiro em y (tratando x como constante) e depois em x.

Passo 2

Calcule a integral interna em y:
\int_{0}^{4}\bigl(2x + 3x^{2}y\bigr)\,dy.
Como x é constante, integramos termo a termo:
\int_{0}^{4}2x\,dy = 2x\,y\Big|_{0}^{4} = 8x,
\int_{0}^{4}3x^{2}y\,dy = \frac{3x^{2}y^{2}}{2}\Big|_{0}^{4} = \frac{3x^{2}\cdot 16}{2} = 24x^{2}.
Portanto,
\int_{0}^{4}\bigl(2x + 3x^{2}y\bigr)\,dy = 8x + 24x^{2}.

Passo 3

Agora integramos em x:
\int_{0}^{3}\bigl(8x + 24x^{2}\bigr)\,dx.
A antiderivada é
4x^{2} + 8x^{3},
Logo,
\int_{0}^{3}\bigl(8x + 24x^{2}\bigr)\,dx = \bigl(4x^{2} + 8x^{3}\bigr)\Big|_{0}^{3} = 4\cdot 9 + 8\cdot 27 = 36 + 216 = 252.

Resposta

252

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