Calcule cada uma das integrais iteradas e esboce a região D sobre a qual a integral é calculada:
\int_{1}^{2} \int_{x}^{2 x} \frac{1}{(x+y)^{2}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{1}^{2}\int_{x}^{2x}\frac{1}{(x+y)^{2}}\,dy\,dx
e, ao mesmo tempo, esboçar a região D no plano xy definida pelos limites de integração. O conteúdo envolvido é dupla integral e troca de integrações ou cálculo direto usando substituição.

Passo 2

Antes de integrar, vamos entender a região D. Pelos limites temos
1 \le x \le 2, \quad x \le y \le 2x.
Logo
D = \{(x,y)\mid 1\le x\le 2,\;x\le y\le 2x\}.
Esse é o conjunto de pontos entre as retas y = x e y = 2x, com x variando de 1 a 2.

Passo 3

Calculemos primeiro a integral interna em y. Faça a mudança de variável
u = x + y \quad\Longrightarrow\quad du = dy.
Quando y = x temos u = x + x = 2x, e quando y = 2x temos u = x + 2x = 3x. Logo
\int_{y=x}^{2x}\frac{1}{(x+y)^{2}}\,dy = \int_{u=2x}^{3x}\frac{1}{u^{2}}\,du = \Bigl[-\frac{1}{u}\Bigr]_{2x}^{3x} = \bigl(-\tfrac{1}{3x}\bigr)-\bigl(-\tfrac{1}{2x}\bigr) = \frac{1}{2x}-\frac{1}{3x} = \frac{1}{6x}.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{1}^{2}\frac{1}{6x}\,dx = \frac{1}{6}\int_{1}^{2}\frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{6}\Bigl[\ln(x)\Bigr]_{1}^{2} = \frac{1}{6}\ln(2).

Passo 5

Para esboçar D, note que as curvas envolvidas são as retas
y=x \quad\text{e}\quad y=2x,
com as linhas verticais x=1 e x=2. Os vértices de D são
(1,1), (1,2), (2,2) e (2,4).
Basta ligar esses pontos, obtendo um quadrilátero que se estende entre as retas y=x e y=2x para 1\le x\le2.

Resposta

\int_{1}^{2}\int_{x}^{2x}\frac{1}{(x+y)^{2}}\,dy\,dx = \frac{1}{6}\ln(2).
A região D é o quadrilátero com vértices (1,1), (1,2), (2,2) e (2,4), situado entre as retas y=x e y=2x para 1\le x\le2.

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