Calcule cada uma das integrais iteradas e esboce a região
sobre a qual a integral é calculada:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
e, ao mesmo tempo, esboçar a região
no plano
definida pelos limites de integração. O conteúdo envolvido é dupla integral e troca de integrações ou cálculo direto usando substituição.
Passo 2
Antes de integrar, vamos entender a região
. Pelos limites temos
Logo
Esse é o conjunto de pontos entre as retas
e
, com
variando de
a
.
Passo 3
Calculemos primeiro a integral interna em
. Faça a mudança de variável
Quando
temos
, e quando
temos
. Logo
Passo 4
Agora integramos em
:
Passo 5
Para esboçar
, note que as curvas envolvidas são as retas
com as linhas verticais
e
. Os vértices de
são
,
,
e
.
Basta ligar esses pontos, obtendo um quadrilátero que se estende entre as retas e
para
.
Basta ligar esses pontos, obtendo um quadrilátero que se estende entre as retas
Resposta
A região
é o quadrilátero com vértices
,
,
e
, situado entre as retas
e
para
.