Calcule cada uma das integrais iteradas e esboce a região
sobre a qual a integral é calculada:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral iterada
e o esboço da região
em que ela está definida. Vamos usar integração iterada e, a seguir, inverter a ordem de integração para confirmar o resultado.
Passo 2
Calcular primeiro a integral interna em
. Como
é constante em relação a
,
Agora integramos em
de
a
:
Passo 3
Descrever a região
em (
)-plano pelas desigualdades usadas:
Para inverter a ordem, note que
e
implicam
Passo 4
Calcular a integral na ordem trocada:
Integramos em
:
avaliado de
a
dá
confirmando o resultado anterior.
Passo 5
Esboçar a região
: é a área no plano
limitada por
– (linha horizontal inferior),
– (linha horizontal superior),
– (eixo
),
– (curva equivalente a
).
Assim fica entre o eixo
e a curva exponencial, para
variando de
a
.
–
–
–
–
Assim