Calcule cada uma das integrais iteradas e esboce a região D sobre a qual a integral é calculada:
\int_{1}^{3} \int_{0}^{\ln y} y e^{x} d x d y

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral iterada
\int_{1}^{3} \int_{0}^{\ln y} y\,e^{x}\,dx\,dy
e o esboço da região D em que ela está definida. Vamos usar integração iterada e, a seguir, inverter a ordem de integração para confirmar o resultado.

Passo 2

Calcular primeiro a integral interna em x. Como y é constante em relação a x,
\int_{0}^{\ln y} y\,e^{x}\,dx = y\bigl[e^{x}\bigr]_{0}^{\ln y} = y\bigl(e^{\ln y}-e^{0}\bigr) = y(y-1) = y^{2}-y.
Agora integramos em y de 1 a 3:
\int_{1}^{3}(y^{2}-y)\,dy = \Bigl[\tfrac{y^{3}}{3}-\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{1}^{3} = \Bigl(9-\tfrac{9}{2}\Bigr)-\Bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{2}\Bigr) = \tfrac{14}{3}.

Passo 3

Descrever a região D em ( x,y)-plano pelas desigualdades usadas:
1 \le y \le 3, \quad 0 \le x \le \ln y.
Para inverter a ordem, note que 0 \le x \le \ln y e y\le3 implicam
0 \le x \le \ln 3, \quad e^{x}\le y\le 3.

Passo 4

Calcular a integral na ordem trocada:
\int_{0}^{\ln 3}\int_{e^{x}}^{3} y\,e^{x}\,dy\,dx = \int_{0}^{\ln 3} e^{x}\!\Bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{e^{x}}^{3}dx = \int_{0}^{\ln 3}\Bigl(\tfrac{9}{2}e^{x}-\tfrac{1}{2}e^{3x}\Bigr)dx.
Integramos em x:
\int\Bigl(\tfrac{9}{2}e^{x}-\tfrac{1}{2}e^{3x}\Bigr)dx = \tfrac{9}{2}e^{x}-\tfrac{1}{6}e^{3x}
avaliado de 0 a \ln 3
\Bigl(\tfrac{9}{2}\cdot3-\tfrac{1}{6}\cdot27\Bigr) -\Bigl(\tfrac{9}{2}\cdot1-\tfrac{1}{6}\cdot1\Bigr) = \tfrac{14}{3},
confirmando o resultado anterior.

Passo 5

Esboçar a região D: é a área no plano xy limitada por
y=1 (linha horizontal inferior),
y=3 (linha horizontal superior),
x=0 (eixo y),
x=\ln y (curva equivalente a y=e^{x}).
Assim D fica entre o eixo y e a curva exponencial, para y variando de 1 a 3.

Resposta

\displaystyle \frac{14}{3}

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