Passe para coordenadas polares e calcule \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{x-x^{2}}} x d x d y.

Passo 1

O enunciado pede
\iint_{D} x\,dA,
onde
D = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 1,\;0 \le y \le \sqrt{x - x^2}\}.
O conteúdo é mudança para coordenadas polares. Vamos usar
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Identificamos que a fronteira y = \sqrt{x - x^2} satisfaz
y^2 = x - x^2 \;\Longrightarrow\; x^2 - x + y^2 = 0 \;\Longrightarrow\; \bigl(x-\tfrac12\bigr)^2 + y^2 = \tfrac14,
ou seja, é o semicírculo de raio \tfrac12, centrado em (\tfrac12,0), acima do eixo x. Em coordenadas polares isso vira
(r\cos\theta - \tfrac12)^2 + (r\sin\theta)^2 = \tfrac14 \;\Longrightarrow\; r = \cos\theta.
Como y\ge0 e r\ge0, fica
0 \le \theta \le \tfrac{\pi}{2}, \quad 0 \le r \le \cos\theta.

Passo 3

Escrevendo o integral em polares, com x = r\cos\theta, temos
\iint_{D} x\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{\cos\theta} \bigl(r\cos\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{\cos\theta} r^2\cos\theta\,dr\,d\theta.
Calculamos primeiro em r:
\int_{0}^{\cos\theta} r^2\,dr = \frac{(\cos\theta)^3}{3},
logo o integral vira
\int_{0}^{\pi/2} \cos\theta\;\frac{\cos^3\theta}{3}\,d\theta = \frac{1}{3}\int_{0}^{\pi/2} \cos^4\theta\,d\theta.

Passo 4

Usamos a identidade
\cos^4\theta = \frac{3 + 4\cos(2\theta) + \cos(4\theta)}{8},
então
\int_{0}^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta = \int_{0}^{\pi/2}\frac{3 + 4\cos(2\theta) + \cos(4\theta)}{8}\,d\theta = \frac{3\pi}{16}.
Logo
\frac{1}{3}\int_{0}^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta = \frac{1}{3}\cdot\frac{3\pi}{16} = \frac{\pi}{16}.

Resposta

\frac{\pi}{16}.

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