Calcule
\int_{0}^{2 a} \int_{0}^{\sqrt{2 a x-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x usando coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{2a}\int_{0}^{\sqrt{2ax - x^2}}\bigl(x^2+y^2\bigr)\,dy\,dx
sobre a região D dada por
0\le x\le2a,\quad 0\le y\le\sqrt{2ax - x^2}.
O objetivo é usar coordenadas polares para simplificar, já que x^2+y^2 vira r^2.

Passo 2

Vamos entender D em coordenadas cartesianas. A curva y=\sqrt{2ax - x^2} satisfaz
y^2 = 2ax - x^2 \quad\Longrightarrow\quad (x-a)^2 + y^2 = a^2,
ou seja, D é a metade superior do disco de raio a centrado em (a,0). Em coordenadas polares centradas na origem (0,0),
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
essa circunferência vira
r^2 - 2a\,r\cos\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = 2a\cos\theta.
Como y\ge0 e x\ge0 em D, temos 0\le\theta\le\dfrac\pi2 e para cada \theta,
0\le r\le 2a\cos\theta.

Passo 3

Em polares a área elementar é dA = r\,dr\,d\theta e o integrando fica
x^2+y^2 = r^2.
Logo a integral transforma-se em
\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{2a\cos\theta}r^2\,(r\,dr\,d\theta) =\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2a\cos\theta}r^3\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em r:
\int_{0}^{2a\cos\theta}r^3\,dr =\left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{2a\cos\theta} =\frac{(2a\cos\theta)^4}{4} =4a^4\cos^4\theta.
Então a integral total é
\int_{0}^{\pi/2}4a^4\cos^4\theta\,d\theta =4a^4\int_{0}^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta.

Passo 5

Para \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta usamos a fórmula do ângulo duplo ou a redução:
\int_{0}^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta =\frac{3\pi}{16}.
Portanto
4a^4\int_{0}^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta =4a^4\cdot\frac{3\pi}{16} =\frac{3\pi}{4}\,a^4.

Resposta

\frac{3\pi}{4}\,a^4.

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