Calcule
usando coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
sobre a região
dada por
O objetivo é usar coordenadas polares para simplificar, já que
vira
.
Passo 2
Vamos entender
em coordenadas cartesianas. A curva
satisfaz
ou seja,
é a metade superior do disco de raio
centrado em
. Em coordenadas polares centradas na origem
,
essa circunferência vira
Como
e
em
, temos
e para cada
,
Passo 3
Em polares a área elementar é
e o integrando fica
Logo a integral transforma-se em
Passo 4
Calculamos primeiro a integral em
:
Então a integral total é
Passo 5
Para
usamos a fórmula do ângulo duplo ou a redução:
Portanto