Calcule cada uma das integrais seguintes.
\int_{4}^{9} 2 \sqrt{t} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{4}^{9}2\sqrt{t}\,dt.
O conteúdo usado aqui é a regra de potência para integrais:
\int t^n\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Escrevemos \sqrt{t}=t^{1/2}, de modo que a integranda fica 2t^{1/2}. Aplicando a regra de potência, obtemos a primitiva
F(t)=\int 2t^{1/2}\,dt =2\cdot\frac{t^{3/2}}{3/2} =\frac{4}{3}t^{3/2}.

Passo 3

Avaliamo-la nos limites 4 e 9:
\int_{4}^{9}2\sqrt{t}\,dt =F(9)-F(4) =\frac{4}{3}\bigl(9^{3/2}-4^{3/2}\bigr) =\frac{4}{3}(27-8) =\frac{76}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{76}{3}

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