Calcule cada uma das integrais seguintes.
Integre:
\int\left(\sqrt{x}+\frac{1}{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\Bigl(\sqrt{x}+\frac{1}{x^{2}}\Bigr)\,dx.
O conteúdo é regra da potência para integrais:
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq -1).

Passo 2

Reescrevemos cada termo como potência de x:
\sqrt{x}=x^{1/2},\qquad \frac{1}{x^{2}}=x^{-2}.
Assim a integral vira
\int\Bigl(x^{1/2}+x^{-2}\Bigr)\,dx.

Passo 3

Integramos termo a termo usando a regra da potência:
Para x^{1/2}, temos n=\tfrac12, logo
\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{(1/2)+1}}{(1/2)+1}=\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}\,x^{3/2}.
Para x^{-2}, temos n=-2, logo
\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}=-\frac{1}{x}.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\Bigl(\sqrt{x}+\frac{1}{x^{2}}\Bigr)\,dx=\frac{2}{3}\,x^{3/2}-\frac{1}{x}+C.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{1}{x}+C

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