Calcule cada uma das integrais seguintes.
Integre:
\int\left(3 x^{2}+x+\frac{1}{x^{3}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a antiderivada de \;f(x)=3x^{2}+x+x^{-3}.
Como é uma soma de potências de x, vamos usar a regra de potência \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1) em cada termo.

Passo 2

Para o termo 3x^{2}, aplicamos a regra de potência:
\int 3x^{2}\,dx \;=\;3\;\frac{x^{3}}{3}\;=\;x^{3}

Passo 3

Para o termo x, temos
\int x\,dx \;=\;\frac{x^{2}}{2}

Passo 4

Para o termo x^{-3}, escrevemos
\int x^{-3}\,dx \;=\;\frac{x^{-2}}{-2}\;=\;-\,\frac{1}{2}x^{-2}\;=\;-\frac{1}{2x^{2}}

Passo 5

Somando todas as partes e incluindo a constante de integração C, obtemos
x^{3} \;+\;\frac{x^{2}}{2}\;-\;\frac{1}{2x^{2}}\;+\;C

Resposta

x^{3}+\frac{x^{2}}{2}-\frac{1}{2x^{2}}+C

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