Calcule cada uma das integrais seguintes.
Integre:
\int\left(3 \sqrt[3]{x^{2}}+3\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int\bigl(3\sqrt[3]{x^{2}}+3\bigr)\,dx.
O conteúdo necessário é a regra de potência para integração e a integral de uma constante. Primeiro vamos reescrever \sqrt[3]{x^{2}} como x^{2/3}.

Passo 2

Escrevendo a integral em potências e separando termos, temos
\int\bigl(3x^{2/3}+3\bigr)\,dx = \int3x^{2/3}\,dx + \int3\,dx.

Passo 3

Para a primeira parte, fatoramos o 3 e aplicamos a fórmula
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1).
Aqui n=\tfrac{2}{3}, então
\int x^{2/3}\,dx =\frac{x^{5/3}}{5/3} =\frac{3}{5}x^{5/3},
e portanto
\int3x^{2/3}\,dx =3\cdot\frac{3}{5}x^{5/3} =\frac{9}{5}x^{5/3}.

Passo 4

Para a segunda parte, a integral de constante é imediata:
\int3\,dx=3x.

Passo 5

Somando os dois resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos a antiderivada geral:
\frac{9}{5}x^{5/3}+3x+C.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{5}x^{5/3}+3x+C

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