Um triângulo A B C de área 108 u.a possui \overline{A M} e \overline{C P} como medianas encontrando-se no ponto Q. Considere o ponto R sobre \overline{A C} de modo que 5 \overline{A R}=\overline{A C} e \circ ponto S sobre \overline{A B} de forma que 4 \overline{A S}=\overline{A B}. Calcule a área do quadrilátero A R Q S, em unidades de área, e assinale a opção correta.
(A) 12,0
(B) 16,2
(C) 19,5
(D) 22,3
(E) 27,0

Passo 1

O enunciado descreve um triângulo ABC de área 108 u.a. e diz que as medianas AM e CP se cruzam em Q (o centróide). O ponto R está em AC com 5\,\overline{AR}=\overline{AC} e o ponto S está em AB com 4\,\overline{AS}=\overline{AB}. Queremos a área do quadrilátero ARQS. Vamos usar coordenadas cartesianas e depois a fórmula de Gauss (shoelace).

Passo 2

Escolhemos
A=(0,0),\quad B=(12,0),\quad C=(0,18),
pois assim a área do triângulo é
\frac{12\cdot18}{2}=108.

Passo 3

Como Q é o centróide,
Q=\frac{A+B+C}{3}=\Bigl(\frac{0+12+0}{3},\,\frac{0+0+18}{3}\Bigr)=(4,6).
O ponto R divide AC na razão AR:RC=1:4, logo
R=A+\tfrac15\,(C-A)=(0,0)+\tfrac15(0,18)=(0,3{,}6).
O ponto S divide AB na razão AS:SB=1:3, logo
S=A+\tfrac14\,(B-A)=(0,0)+\tfrac14(12,0)=(3,0).

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Gauss ao polígono cujos vértices, em ordem, são
(0,0),\;(0,3{,}6),\;(4,6),\;(3,0).
Compute-se
\sum x_i y_{i+1}=0\cdot3{,}6+0\cdot6+4\cdot0+3\cdot0=0,
\sum y_i x_{i+1}=0\cdot0+3{,}6\cdot4+6\cdot3+0\cdot0=14{,}4+18=32{,}4.
Então a área é
\frac12\bigl|\;0-32{,}4\bigr|=\frac{32{,}4}{2}=16{,}2.

Resposta

(B) 16,2

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