Calcule cada uma das integrais seguintes.
\int\left(\frac{1}{x}+e^{x}\right) d x, x>0

Passo 1

O enunciado pede a primitiva de \displaystyle \frac{1}{x}+e^{x}
para x>0. O conteúdo necessário é a propriedade de linearidade da integral e as integrais básicas de \frac{1}{x} e de e^{x}.

Passo 2

Usando a linearidade da integral, decompomos
\int\Bigl(\frac{1}{x}+e^{x}\Bigr)\,dx = \int\frac{1}{x}\,dx + \int e^{x}\,dx.

Passo 3

A integral de \frac{1}{x} é
\int\frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C_{1}.
Como x>0, temos \ln\lvert x\rvert=\ln x.

Passo 4

A integral de e^{x} é
\int e^{x}\,dx = e^{x} + C_{2}.

Passo 5

Somando as duas partes e reunindo as constantes em uma só, obtemos
\ln x + e^{x} + C,
onde C=C_{1}+C_{2}.

Resposta

\ln x + e^{x} + C

Exercícios relacionados