QUESTÃO 1 - Calcule a integral de f ao longo do contorno C, onde f e C são especificados em cada caso.
f(z)=x^2-y^2+i(x-y^2) e, ao longo do segmento retilíneo de zero a 3+i 2

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralCf(z),dz
onde f(z)=x^2-y^2+il(x-y^2r) e C é o segmento que une 0 a 3+2i.
Conteúdo: integral de linha de função complexa; vamos parametrizar o segmento e usar
integralCf(z),dz=integral0^1fl(z(t)r),z'(t),dt

Passo 2

Parametrizamos o segmento por
z(t)=3t+2i,t, tin[0,1],
de modo que
x=3t, y=2t,
dz=z'(t),dt=(3+2i),dt

Passo 3

Substituímos na definição de f:
fl(z(t)r) =(3t)^2-(2t)^2+il(3t-(2t)^2r) =9t^2-4t^2+il(3t-4t^2r) =5t^2+il(3t-4t^2r)

Passo 4

O integrando fica
fl(z(t)r),dz =l(5t^2+i(3t-4t^2)r)(3+2i),dt
Expandindo e agrupando parte real e imaginária:
(5t^2)(3+2i)=15t^2+10i,t^2,
i(3t-4t^2)(3+2i) =9i,t-12i,t^2-6t+8t^2
Somando:
l(23t^2-6tr)+il(-2t^2+9tr)

Passo 5

Integramos de 0 a 1 termo a termo:
integral0^1(23t^2-6t),dt =[233t^3-3t^2]0^1 =233-3=143,
integral0^1(-2t^2+9t),dt =[-23t^3+92t^2]0^1 =-23+92=236

Resposta

integralCf(z),dz =143+i,236

Exercícios relacionados