Calcule cada integral dupla.
\iint_{R} \frac{x y^{2}}{x^{2}+1} d A, R=\{(x, y) ; 0 \leq x \leq 1,-3 \leq y \leq 3\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+1}\,dA,
onde R é o retângulo dado por
0 \le x \le 1,\quad -3 \le y \le 3.
O conteúdo envolvido é o Teorema de Fubini (integral em retângulo) e a observação de que a função é separável em x e y.

Passo 2

Pela separação de variáveis, escrevemos
\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+1} =\underbrace{\frac{x}{x^{2}+1}}_{f(x)}\;\underbrace{y^{2}}_{g(y)},
logo, por Fubini,
\iint_{R}\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+1}\,dA =\int_{0}^{1}\!\int_{-3}^{3}\frac{x}{x^{2}+1}\,y^{2}\,dy\,dx =\Bigl(\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx\Bigr)\Bigl(\int_{-3}^{3}y^{2}\,dy\Bigr).

Passo 3

Calculamos a integral em y:
\int_{-3}^{3}y^{2}\,dy =2\int_{0}^{3}y^{2}\,dy =2\Bigl[\frac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{3} =2\cdot\frac{27}{3} =18.

Passo 4

Agora a integral em x: faça u=x^{2}+1, du=2x\,dx. Então
\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx =\frac{1}{2}\int_{u=1}^{2}\frac{du}{u} =\frac{1}{2}\bigl[\ln u\bigr]_{1}^{2} =\frac{1}{2}\ln 2.

Passo 5

Multiplicando os resultados:
\Bigl(\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)\times 18 =9\ln 2.

Resposta

9\ln 2.

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