Calcule cada integral dupla.
\iint_{R} \frac{x}{1+x y} d A, R=[0,1] \times[0,1][

Passo 1

O enunciado pede
\iint_{R}\frac{x}{1+xy}\,dA, \quad R=[0,1]\times[0,1].
Aqui vamos usar o teorema de Fubini para escrever como integral iterada, depois uma substituição para a parte em y e integração por partes para a parte em x.

Passo 2

Pelo teorema de Fubini,
\iint_{R}\frac{x}{1+xy}\,dA =\int_{0}^{1}\Bigl(\int_{0}^{1}\frac{x}{1+xy}\,dy\Bigr)dx.
Definimos a integral interna
I(x)=\int_{0}^{1}\frac{x}{1+xy}\,dy.

Passo 3

Para calcular I(x), use a substituição
u=1+xy,\quad du=x\,dy,
com u(0)=1 e u(1)=1+x. Isso dá
I(x) =\int_{u=1}^{1+x}\frac{1}{u}\,du =\ln(1+x).

Passo 4

Com isso a integral dupla vira
\int_{0}^{1}\ln(1+x)\,dx.
Para resolver, aplique integração por partes escolhendo
u=\ln(1+x),\quad dv=dx,
o que leva à primitiva
\int\ln(1+x)\,dx =(x+1)\ln(1+x)-x + C.

Passo 5

Avaliaremos de 0 a 1. Em x=1 a expressão é
(1+1)\ln(2)-1 =2\ln2-1,
e em x=0 vale zero. Logo
\int_{0}^{1}\ln(1+x)\,dx =2\ln2-1.

Resposta

2\ln2-1

Exercícios relacionados