Calcule cada integral dupla.
\iint_{R} \frac{1+x^{2}}{1+y^{2}} d A, R=\{(x, y) ; 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}[

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R}\frac{1+x^{2}}{1+y^{2}}\,dA,
onde R é o retângulo [0,1]\times[0,1].
O conteúdo aqui é aplicação do Teorema de Fubini em integrais duplas sobre retângulo e aproveitamento de função separável.

Passo 2

Observe que a função \displaystyle\frac{1+x^{2}}{1+y^{2}} pode ser escrita como
g(x)\,h(y) \quad\text{com}\quad g(x)=1+x^{2}, \quad h(y)=\frac{1}{1+y^{2}}.
Pelo Teorema de Fubini,
\iint_{[0,1]\times[0,1]}g(x)\,h(y)\,dA =\Bigl(\int_{0}^{1}g(x)\,dx\Bigr)\, \Bigl(\int_{0}^{1}h(y)\,dy\Bigr).

Passo 3

Calculemos
\int_{0}^{1}g(x)\,dx =\int_{0}^{1}(1+x^{2})\,dx =\Bigl[x+\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} =1+\tfrac{1}{3} =\tfrac{4}{3}.

Passo 4

Agora
\int_{0}^{1}h(y)\,dy =\int_{0}^{1}\frac{1}{1+y^{2}}\,dy =\bigl[\arctan(y)\bigr]_{0}^{1} =\frac{\pi}{4}.

Passo 5

Multiplicando os dois resultados, obtemos
\iint_{R}\frac{1+x^{2}}{1+y^{2}}\,dA =\frac{4}{3}\,\cdot\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle\frac{\pi}{3}

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