Calcule a integral de linha \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}, onde \mathbf{F}(x, y, z)=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k} e C é a curva \mathrm{r}(t)=\left\langle t, t^{2}, t^{3}\right\rangle, 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
onde \mathbf{F}(x,y,z) = x\,\mathbf{i} + y\,\mathbf{j} + z\,\mathbf{k} e
a curva C é dada por
\mathbf{r}(t)=\langle t,\,t^{2},\,t^{3}\rangle, 0\le t\le1.
O conteúdo aqui é “integral de linha de campo vetorial”: usamos a parametrização \mathbf{r}(t) e a definição
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização para obter d\mathbf{r}:
\mathbf{r}'(t) =\frac{d}{dt}\langle t,\,t^{2},\,t^{3}\rangle =\langle 1,\,2t,\,3t^{2}\rangle,
logo d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 3

Substituímos \mathbf{r}(t) em \mathbf{F} e fazemos o produto escalar:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) =\langle t,\,t^{2},\,t^{3}\rangle,
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) =t\cdot1 + t^{2}\cdot(2t) + t^{3}\cdot(3t^{2}) = t + 2t^{3} + 3t^{5}.

Passo 4

Integramos de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(t + 2t^{3} + 3t^{5}\bigr)\,dt =\left[\frac{t^{2}}{2} + \frac{2\,t^{4}}{4} + \frac{3\,t^{6}}{6}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} =\frac{3}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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