Calcule cada integral iterada.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} y\left(x-y^{2}\right)^{4} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}y\,(x - y^{2})^{4}\,dx\,dy.
O conteúdo é integração iterada: primeiro integramos em x tratando y como constante (usando a regra de potências), depois integramos em y (usando substituição).

Passo 2

Calculemos a integral interna em x:
\int_{0}^{1}y\,(x - y^{2})^{4}\,dx = y\int_{0}^{1}(x - y^{2})^{4}\,dx.
Aplicando a regra
\displaystyle \int (x - a)^{n}\,dx = \frac{(x - a)^{n+1}}{n+1},
temos
\int_{0}^{1}(x - y^{2})^{4}\,dx =\left[\frac{(x - y^{2})^{5}}{5}\right]_{0}^{1} =\frac{(1 - y^{2})^{5} - (-y^{2})^{5}}{5}.

Passo 3

Observe que (-y^{2})^{5} = -y^{10}, então
\int_{0}^{1}y\,(x - y^{2})^{4}\,dx =\frac{y}{5}\bigl((1 - y^{2})^{5} + y^{10}\bigr).
Logo, a integral dupla vira
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}y\,(x - y^{2})^{4}\,dx\,dy =\frac{1}{5}\int_{0}^{1}\bigl[y\,(1 - y^{2})^{5} + y^{11}\bigr]\,dy.

Passo 4

Separe em duas integrais:
  1. Para \displaystyle \int_{0}^{1}y\,(1 - y^{2})^{5}\,dy, faça
    \;u = 1 - y^{2}\implies du = -2y\,dy\implies y\,dy = -\tfrac{du}{2}.
    Quando y=0, u=1; quando y=1, u=0. Assim, \int_{0}^{1}y\,(1 - y^{2})^{5}\,dy = \int_{1}^{0}u^{5}\Bigl(-\frac{du}{2}\Bigr) = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}u^{5}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{12}.
  2. Para \displaystyle \int_{0}^{1}y^{11}\,dy, usamos a regra de potências: \int_{0}^{1}y^{11}\,dy = \left[\frac{y^{12}}{12}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{12}.

Passo 5

Somando as duas parcelas do integrando em y:
\int_{0}^{1}\bigl[y\,(1 - y^{2})^{5} + y^{11}\bigr]\,dy =\frac{1}{12} + \frac{1}{12} =\frac{1}{6}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{5}, obtemos
\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{30}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{30}

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