Calcule cada integral indefinida abaixo.
\int-x e^{x^{2}+1} d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular a integral indefinida \displaystyle \int -x\,e^{x^{2}+1}\,dx. O conteúdo envolvido é integração por substituição.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = x^{2} + 1.
Diferenciando,
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \tfrac12\,du \quad\text{e}\quad -\,x\,dx = -\tfrac12\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int -x\,e^{x^{2}+1}\,dx = \int e^{u}\!\bigl(-\tfrac12\,du\bigr) = -\tfrac12 \int e^{u}\,du.

Passo 4

Integrando em u,
\int e^{u}\,du = e^{u} + C.
Logo
-\tfrac12 \int e^{u}\,du = -\tfrac12\,e^{u} + C.
Voltando a x,
-\tfrac12\,e^{u} + C = -\tfrac12\,e^{x^{2}+1} + C.

Resposta

-\tfrac12\,e^{x^{2}+1} + C

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