Um tanque de
de diâmetro inicialmente contém
de um líquido (
). A válvula que dá acesso ao tanque é aberta e no tanque entra líquido a uma vazão dada pela seguinte expressão:
onde o tempo t é dado em horas e a vazão mássica é dada em
. Quanto tempo levará para que a altura de líquido no tanque seja de 2 m ?
Passo 1
O enunciado descreve um tanque cilíndrico de diâmetro
que inicialmente contém altura
de um líquido de densidade
. Ao abrir a válvula, entra massa à vazão mássica variável
onde
está em horas. Queremos determinar o tempo
necessário para que a altura alcance
. O conteúdo é balanço de massa num volume variável e integração de vazão mássica.
Passo 2
Como o tanque é cilíndrico, a área da seção é
A massa de líquido no tanque em qualquer instante é
Logo, a variação de massa necessária para subir de
até
é
Passo 3
O balanço de massa no tanque é
Integrando de
até
, obtemos
Passo 4
Igualando a massa acumulada à massa necessária, temos
Isolando
,
e portanto
Passo 5
Calculando numericamente:
Assim
Resposta
O tempo necessário para que a altura atinja
é aproximadamente
horas.