Um tanque de 2,5 \mathrm{~m} de diâmetro inicialmente contém 0,5 \mathrm{~m} de um líquido ( \rho=992 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ). A válvula que dá acesso ao tanque é aberta e no tanque entra líquido a uma vazão dada pela seguinte expressão:
\dot{m}_{e}=200 e^{t}
onde o tempo t é dado em horas e a vazão mássica é dada em \mathrm{kg} / \mathrm{h}. Quanto tempo levará para que a altura de líquido no tanque seja de 2 m ?

Passo 1

O enunciado descreve um tanque cilíndrico de diâmetro D=2{,}5\\ \mathrm{m} que inicialmente contém altura h_i=0{,}5\\ \mathrm{m} de um líquido de densidade \rho=992\\ \mathrm{kg/m^3}. Ao abrir a válvula, entra massa à vazão mássica variável
\dot m_e = 200\,e^t\quad[\mathrm{kg/h}],
onde t está em horas. Queremos determinar o tempo T necessário para que a altura alcance h_f=2\\ \mathrm{m}. O conteúdo é balanço de massa num volume variável e integração de vazão mássica.

Passo 2

Como o tanque é cilíndrico, a área da seção é
A = \frac{\pi D^2}{4}.
A massa de líquido no tanque em qualquer instante é
m(t) = \rho\,V(t) = \rho\,A\,h(t).
Logo, a variação de massa necessária para subir de h_i até h_f é
\Delta m = m(T)-m(0) = \rho\,A\,(h_f - h_i).

Passo 3

O balanço de massa no tanque é
\frac{dm}{dt} = \dot m_e = 200\,e^t.
Integrando de t=0 até t=T, obtemos
\int_{m(0)}^{m(T)} dm = \int_{0}^{T} 200\,e^t\,dt \quad\Longrightarrow\quad m(T)-m(0) = 200\bigl(e^T - 1\bigr).

Passo 4

Igualando a massa acumulada à massa necessária, temos
\rho\,A\,(h_f - h_i) = 200\bigl(e^T - 1\bigr).
Isolando e^T,
e^T = 1 + \frac{\rho\,A\,(h_f - h_i)}{200},
e portanto
T = \ln\!\Biggl(1 + \frac{\rho\,A\,(h_f - h_i)}{200}\Biggr).

Passo 5

Calculando numericamente:
A = \frac{\pi\,(2{,}5)^2}{4} = \pi\times1{,}5625\approx4{,}9087\\ \mathrm{m^2},
\rho\,A\,(h_f - h_i) = 992\times4{,}9087\times(2-0{,}5) \approx992\times4{,}9087\times1{,}5\approx7304{,}15\\ \mathrm{kg}.
Assim
e^T = 1 + \frac{7304{,}15}{200} \approx 1 + 36{,}5207 = 37{,}5207,
T = \ln(37{,}5207)\approx3{,}63\\ \mathrm{h}.

Resposta

O tempo necessário para que a altura atinja 2\\ \mathrm{m} é aproximadamente 3{,}63 horas.

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