Calcule cada integral indefinida abaixo como uma série de potências centrada em x=0. Em seguida, determine o raio de convergência da série obtida. (Dica: Expanda o integrando como uma série de potências e depois integre termo a termo.)
integral tan ^-1(x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral tan^-1l(x^2r),dx
como uma série de potências centrada em x=0 e, em seguida, determinar o raio de convergência desta série. Vamos usar a expansão em série de Taylor de tan^-1u para |u|<1 e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Lembrando que para |u|<1 vale a série
tan^-1(u)=sumn=0^infty(-1)^n,u^2n+12n+1,
substituímos u=x^2. Assim, para |x^2|<1 (isto é, |x|<1),
tan^-1l(x^2r) =sumn=0^infty(-1)^n,(x^2)^2n+12n+1 =sumn=0^infty(-1)^n,x^4n+22n+1

Passo 3

Agora integramos termo a termo, pois a série converge uniformemente em qualquer compacto de |x|<1. Temos
integral tan^-1l(x^2r),dx =integral sumn=0^infty(-1)^n,x^4n+22n+1,dx =sumn=0^infty(-1)^n,12n+1,integral x^4n+2,dx
Integrando x^4n+2 obtemos tfracx^4n+34n+3, logo
integral tan^-1l(x^2r),dx =sumn=0^infty(-1)^n,x^4n+3(2n+1)(4n+3)+C

Passo 4

O raio de convergência da série de tan^-1(x^2) é dado por |x^2|<1, ou seja |x|<1. A integração termo a termo não altera esse raio. Portanto o raio de convergência é R=1.

Resposta

integral tan^-1l(x^2r),dx =sumn=0^infty(-1)^n,x^4n+3(2n+1),(4n+3)+C,
com raio de convergência R=1.

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