Calcule cada integral indefinida abaixo como uma série de potências centrada em
. Em seguida, determine o raio de convergência da série obtida. (Dica: Expanda o integrando como uma série de potências e depois integre termo a termo.)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
como uma série de potências centrada em
e, em seguida, determinar o raio de convergência desta série. Vamos usar a expansão em série de Taylor de
para
e depois integrar termo a termo.
Passo 2
Lembrando que para
vale a série
substituímos
. Assim, para
(isto é,
),
Passo 3
Agora integramos termo a termo, pois a série converge uniformemente em qualquer compacto de
. Temos
Integrando
obtemos
, logo
Passo 4
O raio de convergência da série de
é dado por
, ou seja
. A integração termo a termo não altera esse raio. Portanto o raio de convergência é
.
Resposta
com raio de convergência
.